Question

14．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2与x轴从左到右交于点A、B，与y轴交于点C
（1）判断△ABC的形状，并说明理由
（2）直线BC交抛物线的对称轴于点D，点E为直线BC上方抛物线上的一个动点，求△CDE的面积最大值，及其对应的点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据解析式分别求得A、B、C三点坐标，继而可得AB、AC、BC的长，由勾股定理逆定理可得；
（2）求出直线BC的解析式后得出点D的坐标，设点E坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），作DG⊥y轴、作EH⊥y轴，分别表示出DG、CG、CH、HE、GH的长，根据S_△CDE=S_梯形DEHG-S_△CDG-S_△CEH列出函数解析式后，结合二次函数的性质可得其最值情况．

解答 解：（1）△ABC为直角三角形，
令x=0得y=2，即点C（0，2），
令y=0得：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，
解得：x₁=-1，x₂=4，
即点A（-1，0）、点B（4，0），
∵BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AB=5，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BC²+AC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形；

（2）如图，

设直线BC解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴当x=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{5}{4}$，即点D（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$），
设点E坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），
过点D作DG⊥y轴于点G，过点E作EH⊥y轴于点H，
则DG=$\frac{3}{2}$，OG=$\frac{5}{4}$，EH=a，OH=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2，
∵OC=2，
∴CG=OC-OG=$\frac{3}{4}$，HG=OH-OG=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-$\frac{5}{4}$=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+$\frac{3}{4}$，HC=OH-OC=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-2=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a，
则S_△CDE=S_梯形DEHG-S_△CDG-S_△CEH
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$+a）（-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+$\frac{3}{4}$）-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a）•a
=-$\frac{3}{8}$a²+$\frac{3}{2}$a
=-$\frac{3}{8}$（a-2）²+$\frac{3}{2}$，
∴当a=2时，△CDE的面积取得最大值，最大值为$\frac{3}{2}$，
此时点E的坐标为（2，3）．

点评 本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特点及割补法表示三角形的面积求得函数解析式是解题的关键．