Question

【题目】我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，即把待解决的问题，通过转化归结到一类已解决或比较容易解决的问题．

譬如，求解一元二次方程，通常把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，通常把它转化为整式方程来解，只是因为分式方程“去分母”时可能产生增根，所以解分式方程必须检验．

请你运用上述把“未知”转化为“已知”的数学思想，解决下列问题．

（1）解方程：x3+x2﹣2x＝0；

（2）解方程：＝x；

（3）如图，已知矩形草坪 ABCD 的长 AD＝8m，宽 AB＝3m，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点 B，沿草坪边沿 BA、AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C．求 AP 的长．

Answer 1

【答案】（1）x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；（2）x＝3；（3）AP 的长为 4m．

【解析】

（1）因式分解多项式，然后得结论；

（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；

（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.

（1）x3+x2-2x=0，

x（x2+x-2）=0，

x（x+2）（x-1）=0

所以x=0或x+2=0或x-1=0

∴x1=0，x2=-2，x3=1；

（2）=x，

方程的两边平方，得2x+3=x2

即x2-2x-3=0

（x-3）（x+1）=0

∴x-3=0或x+1=0

∴x1=3，x2=-1，

当x=-1时，==1≠-1，

所以-1不是原方程的解．

所以方程=x的解是x=3；

（3）因为四边形ABCD是矩形，

所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m，

设AP=xm，则PD=（8-x）m，

因为BP+CP=10，

BP=，CP=，

∴=10，

∴，

两边平方，得（8-x）2+9=100-20+9+x2

整理，得5=4x+9

两边平方并整理，得x2-8x+16=0

即（x-4）2=0

所以x=4．

经检验，x=4是方程的解．

答：AP的长为4m．