Question

22、如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．
求证：△ACE为等边三角形．

Answer 1

分析：要证△ACE为等边三角形，可证有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，AE=CE可由△ABE≌△EDC得出，∠AEC=60°可由△CFD和△ADF中得出，从而命题可证．

解答：证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，
∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．
∵四边形ODEB是平行四边形，
∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．
∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．
∴△ABE≌△EDC．
∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．
∵BE∥AD，
∴∠AEB=∠EAD．
∴∠EAD=∠ECD．
在△AFE和△CFD中
又∵∠AFE=∠CFD，
∴∠AEC=∠ADC=60°．
∴△ACE为等边三角形．

点评：本题综合考查考查等边三角形形的判定及性质，全等三角形平行四边形的有关知识．注意对三角形全等，等边三角形的综合应用．