Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC于D．动点E从点C出发，以1cm/s的速度沿C→A的方向运动．作EF∥AB，交BC于点F，连接DE．同时动点P由点A出发，沿A→B的方向以相同的速度运动．设运动时间为ts（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，四边形PBFE是平行四边形？
（2）当t为何值时，△DEF的面积为$\frac{3}{4}$cm²？请写出求解过程；
（3）是否存在某一时刻t，使得△PEF是等腰三角形？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证得DE=EC，然后根据平行四边形的性质得出PB=EF，即可证得PB=EC，从而求得t=5-t，解方程即可求得；
（2）根据勾股定理求得AD=4，过E点作EH⊥BC于H，根据平行线的性质得出$\frac{EH}{4}$=$\frac{t}{5}$=$\frac{FC}{6}$，求得EH=$\frac{4}{5}$t，FC=$\frac{6}{5}$t，然后分①当0＜t≤$\frac{5}{2}$时，DF=3-$\frac{6}{5}$t，②当$\frac{5}{2}$＜t＜5时，DF=$\frac{6}{5}$t-3，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求得；
（3）作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根据三角形相似对应边成比例求得CM=$\frac{24}{5}$，BM=$\frac{18}{5}$，AM=$\frac{7}{5}$，进而求得EN=$\frac{24}{5}$-$\frac{24}{25}$t，AN=$\frac{7}{5}$-$\frac{7}{25}$t，PN=t-（$\frac{7}{5}$-$\frac{7}{25}$t）=$\frac{32}{25}$t-$\frac{7}{5}$，根据勾股定理得出PE²=（$\frac{24}{5}$-$\frac{24}{25}$t）²+（$\frac{32}{25}$t-$\frac{7}{5}$）²=$\frac{64}{25}$t²-$\frac{64}{5}$t+25，然后分三种情况分别讨论即可求得．

解答 解：（1）∵四边形PBFE是平行四边形，
∴PB=EF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠B，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC，
∵AP=EC=t，
∴EF=t，PB=5-t，
∴t=5-t，
解得t=$\frac{5}{2}$；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
过E点作EH⊥BC于H，
∵AD⊥BC，
∴EH∥AD，
∴$\frac{EH}{AD}$=$\frac{EC}{AC}$=$\frac{CF}{BC}$，
即$\frac{EH}{4}$=$\frac{t}{5}$=$\frac{FC}{6}$，
∴EH=$\frac{4}{5}$t，FC=$\frac{6}{5}$t，
①当0＜t≤$\frac{5}{2}$时，DF=3-$\frac{6}{5}$t，
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$DF•EH=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$t×（3-$\frac{6}{5}$t）=$\frac{3}{4}$，
解得t=$\frac{5}{4}$；
②当$\frac{5}{2}$＜t＜5时，DF=$\frac{6}{5}$t-3，
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$DF•EH=$\frac{1}{2}$×（$\frac{6}{5}$t-3）×$\frac{4}{5}$t=$\frac{3}{4}$，
解得，t₁=$\frac{5+5\sqrt{2}}{4}$，t₂=$\frac{5-5\sqrt{2}}{4}$（舍去）；
综上所述，t=$\frac{5}{4}$或$\frac{5+5\sqrt{2}}{4}$时，△DEF的面积为$\frac{3}{4}$cm²； 
（3）如图4，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，
∵∠CMB=∠ADB=90°，∠ABD=∠MBC，
∴△MBC∽△DBA，
∴$\frac{CM}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BM}{BD}$，即$\frac{CM}{4}$=$\frac{6}{5}$=$\frac{BM}{3}$
∴CM=$\frac{24}{5}$，BM=$\frac{18}{5}$，
∴AM=$\frac{7}{5}$，
∵CM⊥AB，EN⊥AB，
∴EN∥CM，
∴$\frac{EN}{CM}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AN}{AM}$，即$\frac{EN}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5-t}{5}$=$\frac{AN}{\frac{7}{5}}$
∴EN=$\frac{24}{5}$-$\frac{24}{25}$t，AN=$\frac{7}{5}$-$\frac{7}{25}$t，
∴PN=t-（$\frac{7}{5}$-$\frac{7}{25}$t）=$\frac{32}{25}$t-$\frac{7}{5}$，
∴PE²=（$\frac{24}{5}$-$\frac{24}{25}$t）²+（$\frac{32}{25}$t-$\frac{7}{5}$）²=$\frac{64}{25}$t²-$\frac{64}{5}$t+25，
∵EF=t，PF=PB=5-t，
①EF=PF时，t=$\frac{5}{2}$；
②PE²=PF²时，$\frac{64}{25}$t²-$\frac{64}{5}$t+25=25-10t+t²
解得t₁=0（舍），t₂=$\frac{70}{39}$；
③EF²=PE²时，$\frac{64}{25}$t²-$\frac{64}{5}$t+25=t²
解得t₁=5（舍），t₂=$\frac{125}{39}$，
综上所述，t=$\frac{5}{2}$或$\frac{70}{39}$或$\frac{125}{39}$时，△PEF是等腰三角形．

点评 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用以及三角形面积等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．