Question

1．太阳能是可再生的绿色环保能源，太阳能热水器是最常见的一种太阳能应用方式，如图是某地一个屋顶太阳能热水器的安装截面图．房屋的金顶等腰△ABC中，屋面倾角∠B=21.8°，太阳能真空管MN=1.8m，可伸缩支架MA⊥BC，安装要求安装地区的正午太阳光线垂直照射真空管MN．已知该地正午时直立于水平地面的0.8m长测杆影长0.6m，求符合安装要求的支架MA的长度．（参考数据：tan21.8°=0.4，tan53.13°=$\frac{4}{3}$，sin53.13°=$\frac{4}{5}$，tan36.87°=$\frac{3}{4}$，cos36.87°=$\frac{4}{5}$）

Answer 1

分析 如图，DE=0.8，EF=0.6，则DF=1，作DQ⊥DF交EF于Q，即使太阳光线垂直于DQ，利用等角的余角相等得到∠Q=∠EDF，在Rt△EDF中，利用三角函数的定义得到cos∠EDF=0.8，sin∠EDF=0.6，再根据相似的判定易得△MNH∽△DQE，则∠MNH=∠Q，在Rt△MNH中，根据三角函数的定义可计算出NH=1.44，MH=1.08；则在Rt△ANH中，利用正切的定义计算出AH=0.576，然后利用MA=MH-AH进行计算即可．

解答 解：如图，DE=0.8，EF=0.6，则DF=1，
作DQ⊥DF交EF于Q，
∴∠Q=∠EDF，
在Rt△EDF中，cos∠EDF=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{0.8}{1}$=0.8，sin∠EDF=$\frac{0.6}{1}$=0.6，
∵△MNH∽△DQE，
∴∠MNH=∠Q，
在Rt△MNH中，∵cos∠MNH=$\frac{NH}{MN}$=0.8，sin∠MNH=$\frac{MH}{MN}$=0.6，
∴NH=0.8×1.8=1.44，MH=0.6×1.8=1.08，
在Rt△ANH中，∵tan∠ANH=tan21.8°=$\frac{AH}{NH}$，
∴AH=1.44×0.4=0.576，
∴MA=MH-AH=1.08-0.576=0.504（m）．
答：符合安装要求的支架MA的长度为0.504米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．