Question

20．如图，A（3m-1，0），B（0，3-m）分别为x轴负半轴、y轴正半轴上的点，OA=OB，C在第二象限，且∠ACB=∠BAC，AD平分∠OAB．

（1）求S_△OAB；
（2）若AD⊥AC，连CD，求证：AC=AD．
（3）如图，在x轴的正半轴上找一点E，使OE=OA，点P，Q分别为线段AB，BE上的动点（P，Q均不与△ABE的顶点重合），且OP⊥OQ，过点O作OS⊥AQ交AB于S点，当P运动时，$\frac{PS}{QE}$的值是否变化，试证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据OA=OB，列出关于m的方程-3m+1=3-m，得到m=-1，于是得到A（-4，0），B（0，4），即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠BAO=∠ABO=45°，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠DAO=22.5°，于是求得∠BAC=∠ACB=67.5°，得到∠CBA=45°，推出∠CBD=90°，证得A，C，B，D四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；
（3）过O作OM∥BE，根据平行线的性质得到∠MOQ=∠OQE，推出B，P，O，Q四点共圆，根据圆周角定理得到∠OQE=∠SPO=∠MOQ，由余角的性质得到∠POS=∠OQA，证得△POS≌△OQM，根据全等三角形的性质得到PS=OM，然后根据三角形的中位线即可得到结论．

解答 解：（1）∵A（3m-1，0），B（0，3-m），
∴OA=-3m+1，OB=3-m，
∵OA=OB，
∴-3m+1=3-m，
∴m=-1，
∴A（-4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•OB=8；

（2）∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵AD平分∠OAB，
∴∠BAD=∠DAO=22.5°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠ACB=67.5°，
∴∠CBA=45°，
∴∠CBD=90°，
∴A，C，B，D四点共圆，
∴∠BCD=∠BAD=22.5°，
∴∠ACD=45°，∠ADC=∠CBA=45°，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD；

（3）过O作OM∥BE，
∴∠MOQ=∠OQE，
∵∠ABE=∠POQ=90°，
∴B，P，O，Q四点共圆，
∴∠OQE=∠SPO=∠MOQ，
∵OS⊥AQ，
∴∠OQA+∠QOJ=90°，
∵∠POS+∠QOJ=90°，
∴∠POS=∠OQA，
在△POS与△OQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POS=∠OQA}\\{OQ=OP}\\{∠MOQ=∠SPO}\end{array}\right.$，
∴△POS≌△OQM，
∴PS=OM，
∵AO=OE，
∴OM是△AQE的中位线，
∴OM=$\frac{1}{2}$QE，
∴SP=$\frac{1}{2}$QE，
∴$\frac{PS}{QE}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线，平行线的性质，四点共圆，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．