【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,∠ABC=30°,动点P从点B出发,在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0≤t≤6),连接PQ,以PQ为直径作⊙O.
(1)当t=1时,求△BPQ的面积;
(2)设⊙O的面积为y,求y与t的函数解析式;
(3)若⊙O与Rt△ABC的一条边相切,求t的值.
【答案】(1)当t=1时,S△BPQ=;(2)y= t2﹣18πt+27π;(3)若⊙O与Rt△ABC的一条边相切,t的值为3或或0或
【解析】
(1)连接DP,根据△BPM∽△BAC,可得PD=t,BQ=(6-t),然后得到S△BPQ=BQPD即可得出结论;
(2)先表示出DP,BD,进而利用勾股定理求出PQ的平方,最后用圆的面积公式即可得出结论;
(3)分当⊙O与BC相切、⊙O与AB相切,⊙O与AC相切时,三种情况分类讨论即可得出结论.
(1)如图1,
在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AC=6,
∴AB=12,BC=6,
由运动知,BP=2t,CQ=t,
∴BQ=BC﹣CQ=(6﹣t),
连接DP,
∵PQ是⊙O的直径,
∴∠PDQ=90°
∵∠C=90°,
∴PD∥AC.
∴△BPD∽△BAC,
∴
∴,
∴DP=t,BD=t,
S△BPQ=BQPD=×(6﹣t)t=﹣t2+3t
∴当t=1时,S△BPQ=﹣+3=;
(2)DQ=|BQ﹣BD|=(6﹣t)﹣t|=2|3﹣t|,PQ2=PD2+DQ2=t2+[2(3﹣t)]2=13t2﹣72t+108,
∴y=π×()2=t2﹣18πt+27π,
(3)由运动知,BP=2t,CQ=t,
∴BQ=BC﹣CQ=(6﹣t),
当⊙O与BC相切时,PQ⊥BC,
∴△BPQ∽△BAC,
∴,
∴,
∴t1=3,
当⊙O与AB相切时,PQ⊥AB,
∴△BPQ∽△BCA
∴,
∴,
∴t2=,
当⊙O与AC相切时,如图2,过点O作OH⊥AC于点H,交PD于点N,
∴OH∥BC,
∵点O是PQ的中点,
∴ON=QD,
由(1)知,BQ=(6﹣t),BD=t,
∴QD=BD﹣BQ=2(t﹣3),DC=BC﹣BD=6﹣t=(6﹣t)
∴OH=ON+NH=QD+DC=×2(t﹣3)+(6﹣t)=3,
∴PQ=2OH=6,
由(2)知,PQ2=13t2﹣72t+108
∴13t2﹣72t+108=36×3
解得t3=0,t4=,
综上所述,若⊙O与Rt△ABC的一条边相切,t的值为3或或0或 .
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【题目】(6分)如图,在建立了平面直角坐标系的正方形网格中,A(2,2),B(1,0),C(3,1)
(1)画出ΔABC关于x轴对称的ΔA1B1C1.
(2)画出将ΔABC绕点B逆时针旋转900,所得的ΔA2B2C2.
(3)直接写出A2点的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=﹣x+2与x轴交于点B,与y轴交于点A,以AB为斜边作等腰直角△ABC,使点C落在第一象限,过点C作CD⊥AB于点D,作CE⊥x轴于点E,连接ED并延长交y轴于点F.
(1)如图(1),点P为线段EF上一点,点Q为x轴上一点,求AP+PQ的最小值.
(2)将直线l进行平移,记平移后的直线为l1,若直线l1与直线AC相交于点M,与y轴相交于点N,是否存在这样的点M、点N,使得△CMN为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G.点F是CD上一点,且满足,连接AF并延长交⊙O于点E.连接AD、DE,若CF=2,AF=3.给出下列结论:
①△ADF∽△AED;②FG=2;③tan∠E=;④S△DEF=4.
其中正确的是( )
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④
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【题目】如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.
(1)求证:四边形DBFE是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBEF是菱形?为什么?
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【题目】如图,修正带是一种白色不透明颜料,涂在纸上可以遮盖错字,为学习和工作提供了方便.某品牌修正带原零售价为每个5元,恒诚文具店为学生们推出两种优惠方案,第一种方案:“凡一次性购买两个以上(含两个),两个按原价,其余按原价的五折付款”;第二种方案:“凡一次性购买两个以上(含两个),全部按原价的七折付款”.在购买数量相同的情况下,若要使第一种方案付款更少,则至少需要购买修正带( )
A.4个B.5个C.6个D.7个
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【题目】如图,抛物线y=﹣+bx+c经过A(4,0),C(0,4)两点,点B是抛物线与x轴的另一个交点,点E是OC的中点,作直线AC、点M在抛物线上,过点M作MD⊥x轴,垂足为点D,交直线AC于点N,设点M的横坐标为m,MN的长度为d.
(1)直接写出直线AC的函数关系式;
(2)求抛物线对应的函数关系式;
(3)求d关于m的函数关系式;
(4)当以点M、N、E、O为顶点的四边形为平行四边形时,直接写出m的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,对进行循环往复的轴对称变换,若原来点坐标是,则第1次变换后点的坐标是__________,经过第284次变换后所得的点坐标是__________.
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