Question

6．已知在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．
（1）若∠A=60°，a+b=3+$\sqrt{3}$，求a、b、c及S_△ABC；
（2）若△ABC的周长为30，面积为30，求a、b、c．

Answer 1

分析 （1）根据∠B可以求得a、b的关系，根据a+b的值可以求a、b的值，根据a、b的值即可求△ABC的面积，已知a、b的值，根据勾股定理即可求c的值．
（2）设AC=b，BC=a，则斜边AB=30-a-b，根据三角形的面积求出ab=60，根据勾股定理得出a²+b²=（30-a-b）²，求出a+b=17，组成方程组，求出方程组的解即可．

解答 解：（1）∵∠B=60°，∴∠A=30°，
∴b=$\sqrt{3}$a，
∵a+b=3+$\sqrt{3}$，即a+b=（$\sqrt{3}$+1）a=3+$\sqrt{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$，
∴b=3，
∴c=2$\sqrt{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（2）如图：
设AC=b，BC=a，则斜边AB=30-a-b，
∵△ABC的面积为30，
∴$\frac{1}{2}$ab=30，
即ab=60，
根据勾股定理得：a²+b²=（30-a-b）²，
即-ab+30a+30b=450，
∴a+b=17，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{ab=60}\\{a+b=17}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{a=12}\\{b=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=12}\end{array}\right.$，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，

点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了特殊角的三角函数值的计算，本题中根据a、b的关系式求得a、b的值是解题的关键．