Question

【题目】等边三角形ABC中，AB＝3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD＝∠CBE，当BD＝1时，则AE的长为_____．

Answer 1

【答案】2或4或或

【解析】

分四种情形分别画出图形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可.

解：分四种情形：

①如图1中，当点D在边BC上，点E在边AC上时．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABD＝∠BCE＝60°，

∵∠BAD＝∠CBE，

∴△ABD≌△BCE（ASA），

∴BD＝EC＝1，

∴AE＝AC﹣EC＝2；

②如图2中，当点D在边BC上，点E在AC的延长线上时．作EF∥AB交BC的延长线于F．

∵∠CEF＝∠CAB＝60°，∠ECF＝∠ACB＝60°，

∴△ECF是等边三角形，

设EC＝CF＝EF＝x，

∵∠ABD＝∠BFE＝60°，∠BAD＝∠FBE，

∴△ABD∽△BFE，

∴，即，解得x＝，

∴AE＝AC+CE＝；

③如图3中，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时．

∵∠ABD＝∠BCE＝120°，AB＝BC，∠BAD＝∠CBE，

∴△ABD≌△BCE（ASA），

∴EC＝BD＝1，

∴AE＝AC+EC＝4；

④如图4中，当点D在CB的延长线上，点E在边AC上时，作EF∥AB交BC于F，则△EFC是等边三角形．

设EC＝EF＝CF＝m，

由△ABD∽△BFE，可得，

∴，解得m＝，

∴AE＝AC﹣EC＝，

综上所述，满足条件的AE的值为2或4或或．

故答案为：2或4或或．