【题目】如图1抛物线y=ax2+bx+c过 A(﹣1,0)、B(4,0)、C(0,2)三点.
(1)求抛物线解析式;
(2)点C,D关于抛物线对称轴对称,求△BCD的面积;
(3)如图2,过点E(1,﹣1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ(点M、N、Q分别与A、E、F对应)使得M、N在抛物线上,求M、N的坐标.
【答案】
(1)
解:抛物线y=ax2+bx+c过 A(﹣1,0)、B(4,0)、C(0,2)三点,
∴可设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣4),
把C(0,2)代入得2=a(0+1)(0﹣4),解得a=﹣ ,
∴抛物线解析式为y=﹣ (x+1)(x﹣4)=﹣
x2+
x+2
(2)
解:抛物线对称轴为x=﹣ =﹣
=
,
∵点 C(0,2),D关于抛物线对称轴对称,
∴D(3,2),
∴CD=3,
∴S△BCD= CDOC=
×3×2=3
(3)
解:∵A(﹣1,0),E(1,﹣1),EF⊥x轴于点F,
∴AF=2,EF=1
如图2,由旋转知△MNQ≌△AEF,
∴MQ=AF=2,NQ=EF=1,
且MQ∥x轴,NQ⊥x轴,
设N(m,n),则M(m+2,n﹣1),
代入抛物线解析式y=﹣ x2+
x+2,
得 ,解得
,
∴M(3,2),N(1,3)
【解析】(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由抛物线解析式可求得抛物线对称轴,可求得D点坐标,则可求得△BCD的面积;(3)由旋转知△MNQ≌△AEF,设N点坐标为(m,n),则可表示出M点坐标,把M、N的坐标代入抛物线解析式可得到关于m、n的方程组,可求得m、n的值,则可求得M、N的坐标.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点,需要掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.
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【题目】如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),…,按这样的运动规律,经过第2011次运动后,动点P的坐标是____________。
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【题目】已知矩形ABCD,点P为BC边上一动点,连接AP,将线段AP绕P点顺时针旋转90°,点A恰好落在直线CD上点E处.
(1)如图1,点E在线段CD上,求证:AD+DE=2AB;
(2)如图2,点E在线段CD的延长线上,且点D为线段CE的中点,在线段BD上取点F,连接AF、PF,若AF=AB.求证:∠APF=∠ADB.
(3)如图3,点E在线段CD上,连接BD,若AB=2,BD∥PE,则DE= . (直接写出结果)
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【题目】如图,D为Rt△ABC斜边AB上一点,以CD为直径的圆分别交△ABC三边于E、F、G三点,连接FE,FG.
(1)求证:∠EFG=∠B;
(2)若AC=2BC=4 ,D为AE的中点,求FG的长.
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【题目】如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.
(1)求证:AD=AG;
(2)AD与AG的位置关系如何,请说明理由.
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【题目】如图表示一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果输水管的半径为5cm,水面宽AB为8cm,则水的最大深度CD为( )
A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cm
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【题目】如图所示,已知反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于两点M(4,m)和N(﹣2,﹣8),一次函数y=ax+b与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求△MON的面积;
(3)根据图象回答:当x取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.
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