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(本题满分12分)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.

(1)求弦AB的长;

(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;

(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.

 

【答案】

解:(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.

∵弦AB垂直平分线段OP,∴OF=OP=,AF=BF.

在Rt△OAF中,∵AF=,∴AB=2AF=.---3分

(2)∠ACB是定值.-------------------------------------------------------------------------------4分

理由:由(1)易知,∠AOB=120°,--------------------------------------------------------5分

因为点D为△ABC的内心,所以,连结AD、BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA,------------------------------------------------------------------------------------------------------7分

因为∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°,所以∠CAB+∠CBA=120°,所以∠ACB=60°;

---------------------------------------------------------------------------------------------------------8分

(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC.

AB•DE+BC•DH+AC•DG=(AB+BC+AC) •DE=l•DE.

=4,∴=4,∴l=8DE.----------------------------------------10分

∵CG,CH是⊙D的切线,∴∠GCD=∠ACB=30°,

∴在Rt△CGD中,CG=DE,∴CH=CG=DE.

又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE,[来源:学,科,网Z,X,X,K]

∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE,解得DE=,-------------------------11分

∴△ABC的周长为.------------------------------------------------------------------------12分

 

【解析】略

 

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(本题满分12分)

如图,直角梯形ABCD中,ABDC.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线lAD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).

(1)当时,求线段的长;

(2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;

(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究是否为定值,若是,试求这个定值;若不是,请说明理由.

 

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(本题满分12分)

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2.

 

 
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(本题满分12分)

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(1)当时,求线段的长;

(2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;

(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究是否为定值,若是,试求这个定值;若不是,请说明理由.

 

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