Question

30、（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请设计3种不同的方案，将△ABC分割成三个小等腰三角形．

（2）如下图1、图2、图3，均有AB∥CD，则
在图1中，∠1、∠2、∠3的关系是

∠1+∠3=∠2

；
在图2中，∠1、∠2、∠3、∠4的关系是

∠1+∠3=∠2+∠4

；
在图3中，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系是

∠1+∠3+∠5=∠2+∠4

；

Answer 1

分析：（1）首先方案1：做∠B的角平分线BD交AC于点D，作∠BDC得角平分线DE交BC于点E，方案2，做∠B的角平分线BF交AC于点F，作∠C得角平分线CM交BF于点M，方案3，做∠C的角平分线CN交AB于点N，作∠BNC得角平分线NP交BC于点P，然后根据已知条件，推出相关角的度数，即可推出△ABC被分割的三个小等腰三角形；（2）分别过P，Q，M点作AB得平行线，然后根据平行线的判定定理和性质，即可推出结论．

解答：解：（1）如图方案1，做∠B的角平分线BD交AC于点D，作∠BDC得角平分线DE交BC于点E，
∵∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠DBC=36°，∠BDC=72°，
∴∠EDG=∠BDE=36°，
∴△ABD，△BDE，△DEC为等腰三角形；
如图方案2，做∠B的角平分线BF交AC于点F，作∠C得角平分线CM交BF于点M，
∵∠A=36°，
∴∠ACB=∠ABC=72°，
∴∠FBC=∠ABF=36°，∠FCM=∠MCB=72°，
∴∠CFM=∠CMF=72°，
∴△ABF，△BMC，△CMF为等腰三角形；
如图方案3，做∠C的角平分线CN交AB于点N，作∠BNC得角平分线NP交BC于点P，
∵∠A=36°，
∴∠ACB=∠ABC=72°，
∴∠BCN=∠ACN=36°，∠BNC=∠B=72°，
∴∠BNP=∠PNC=36°，∠NPB=72°，
∴△ANC，△NPC，△BNP为等腰三角形；

（2）①在图1中，作PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD⊥PN，
∴∠1=∠BPN，∠3=∠NPD，
∴∠BPD=∠1+∠2，
∴∠1+∠3=∠2； 
②在图2中，作PM∥AB，HQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM∥HQ，
∴∠1=∠BPN，∠PQH=∠MPQ，∠HQC=∠4，
∴∠1+∠3=∠BPM+∠MPQ+∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4； 
③在图3中，作PE∥AB，OQ∥AB，MF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE∥OQ∥MF，
∴∠1=∠BPE，∠EPQ=∠PQO，∠OQM=∠QMF，∠FMD=∠5，
∴∠2=∠1+∠PQO，∠4=∠OQM+∠5，
∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质，关键在于正确的作出辅助线，求出相关角的度数．