Question

情境·观察：
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△,如图1所示，将△的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D，A（），B在同一条直线上，如图2所示，观察图2可知：旋转角=       ° ，与BC相等的线段是         。

问题·探究：
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论。

关系·拓展：
如图4，已知正方形ABCD，P为边BC上任意一点，连结AP，把AP绕点P顺时针方向旋转90°，点A对应点为点，连接,求的度数。

Answer 1

（1）  90°，AD；（2）EP=FQ，证明见解析；（3）45°.

试题分析：（1）根据矩形的性质、旋转的性质填空；
（2）由全等三角形△APE≌△BGA的对应边相等知，EP=AG；同理由全等三角形△FQA≌△AGC的对应边相等知FQ=AG，所以易证EP=FQ；
（3）由旋转的性质易求∠A₁CE=45°.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴如图1，在Rt△ADC与Rt△ABC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），
即如图2，Rt△ABC≌Rt△C'DA′，
∴BC=AD，∠BAC=∠DC′A′．
又∵∠DC′A′+∠DA′C′=90°，
∴∠DA′C′+∠CAB=90°，
∴∠CAC′=90°．
问题·探究：
解：EP=FQ
∵∠AGB=∠EPA=∠EAB=90°
∴∠EAP+∠PEA=90°
∠EAP+∠BAG=90°
∴∠BAG=∠PEA
∵∠EPA=∠AGB
∠PEA=∠BAG
AE=AB
∴△EPA≌△AGB
∴EP=AG
同理：QF=AG
∴EP=FQ
联系·拓展：
解：∠A₁CE=45°
过A₁作A₁Q⊥BE于点Q

由上可知：△ABP≌△A₁QP
∴BP=A₁Q，AB=PQ
∵AB=BC
∴BC=PQ
∴BP=CQ
∴A₁Q=CQ
∴∠A₁CE =45°
考点: 相似形综合题.