Question

11．△ABC中，AB=AC=5．
（1）如图1，若sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，求S_△ABC；
（2）若BC=AC，延长BC到D，使CD=BC，点M为BC上一点，连接AM并延长到P，使∠APD=∠B，延长AC交PD于N，连接MN．
①如图2，求证：AM=MN；
②如图3，当PC⊥BC时，则CN的长为5$\sqrt{3}$-5（直接写结果）．

Answer 1

分析 （1）作AB边上的高CD，根据三角函数可求得CD，则可求得△ABC的面积；
（2）①过N作NH⊥MD于H点，可证明△ABM≌△DCN，再结合△ABC为等边三角形及直角三角形的性质可求得△MND为等腰三角形，可证得结论；
②作辅助线构建直角三角形，在30°的直角△CNH中设CH=x，表示出DH、GM，并利用平行线，得出比例式，求出PC的长，再利用同角三角函数值列等式，求出x的值，则CN=2x=5$\sqrt{3}$-5．

解答 解：（1）如图1，作高CD，由AB=AC=5，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，得高CD=4，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5×4=10；
（2）①如图2，过N作NH⊥MD于H点，
∵AB=AC，BC=AC，BC=CD，
∴AB=CD，△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵∠ACB=∠NCD，
∴∠NCD=∠B=60°，
∵∠AND=∠APD+∠PAN，
∠AMB=∠ACB+∠PAN，
又∵∠APD=∠B=∠ACB，
∴∠CND=∠AMB，
∴△ABM≌△DCN，
则BM=CN，AM=DN，
在Rt△CNH中，∠CNH=90°-60°=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CN，又CD=$\frac{1}{2}$BD，
CD-CH=$\frac{1}{2}$（BD-CN）═$\frac{1}{2}$（BD-BM），
即DH=$\frac{1}{2}$DM，
所以MN=DN=AM；
②如图3，过A作AG⊥BD，过N作NH⊥BD，垂足分别为G、H，
则BG=$\frac{5}{2}$，AG=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
设CH=x，则CN=2x，BM=2x，DH=5-x，NH=$\sqrt{3}$x，
∵NH∥PC，
∴$\frac{DH}{CD}=\frac{NH}{PC}$，
∴$\frac{5-x}{5}=\frac{\sqrt{3}x}{PC}$，PC=$\frac{5\sqrt{3}x}{5-x}$，
∵tan∠AMB=$\frac{AG}{GM}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{2x-\frac{5}{2}}$，tan∠PMC=$\frac{PC}{MC}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}x}{5-x}}{5-2x}$，
∴$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{2x-\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}x}{5-x}}{5-2x}$，
∴2x²+10x-25=0，
x₁=$\frac{5\sqrt{3}-5}{2}$，x₂=$\frac{-5-5\sqrt{3}}{2}$（舍去），
∴CN=2x=5$\sqrt{3}$-5．
故答案为：5$\sqrt{3}$-5．

点评 本题是三角形的综合题，考查了相似三角形、直角三角形的性质，如果利用勾股定理或三角函数都能求边长，两者选其一，还是三角函数的计算要简单一些；此题又把几何与方程结合在一起，利用比例式和三角函数列出方程求解．