Question

3．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：BG⊥DF；
（2）试判断线段EG，ED，DG，DB之间关系并证明；
（3）若EG•BG=3（2-$\sqrt{2}$），求正方形ABCD面积．

Answer 1

分析 （1）由性质得出△BCE≌△DCF，即：∠CBE=∠CDF，再用直角三角形的性质进行等量代换即可得出结论；
（2）借助（1）的结论和角平分线的意义，即可判断出△BDG∽△DEG，得出结论；
（3）先利用角平分线定理得出DE=$\sqrt{2}$CE，再用勾股定理的课得出BC=（$\sqrt{2}$+1）CE，进而得出BE=$\sqrt{2（2+\sqrt{2}）}$CE，再有已知条件得出BE=2$\sqrt{3（2-\sqrt{2}）}$，即可求出CE，进而求出BC即可得出正方形的面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠CBE+∠CEB=90°，
∵△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∴∠CDF+∠CEB=90°，
∵∠DEG=∠CEB，
∴∠DEG+∠CDF=90°，
∴∠BGD=90°，
∴BG⊥DF，

（2）$\frac{DG}{EG}=\frac{BD}{DE}$；
理由：由（1）知，∠CBE=∠CDF，
∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE=∠DBE，
∴∠CDF=∠DBE，
∵∠DGE=∠BGD，
∴△BDG∽△DEG，
∴$\frac{DG}{EG}=\frac{BG}{DG}$=$\frac{BD}{DE}$，
即：$\frac{DG}{EG}=\frac{BD}{DE}$；

（3）∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴BD=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$CD，
∵BE平分∠DBC，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{CE}{DE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴DE=$\sqrt{2}$CE，
∴BC=CD=CE+DE=CE+$\sqrt{2}$CE=（$\sqrt{2}$+1）CE，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}+1）^{2}C{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{2（2+\sqrt{2}）}$CE，
由（2）知，△BDG∽△DEG，
∴$\frac{DG}{EG}=\frac{BG}{DG}$，
∴DG²=EG•BG，
∵EG•BG=3（2-$\sqrt{2}$），
∴DG=$\sqrt{3（2-\sqrt{2}）}$，
由（1）知，BG⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴DF=2DE=2$\sqrt{3（2-\sqrt{2}）}$，
由（1）知，△BCE≌△DCF，
∴BE=DF=2$\sqrt{3（2-\sqrt{2}）}$，
∵BE=$\sqrt{2（2+\sqrt{2}）}$CE，
∴2$\sqrt{3（2-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{2（2+\sqrt{2}）}$CE，
∴CE=$\frac{2\sqrt{3（2-\sqrt{2}）}}{\sqrt{2（2+\sqrt{2}）}}$=$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{2}$），
∴S_{正方形ABCD}=BC²=（$\sqrt{2}$+1）²CE²=（$\sqrt{2}$+1）²×[$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{2}$）]²=6，
即：正方形ABCD面积为6．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，角平分线定理，相似三角形相似性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，（2）中判断出△BDG∽△DEG和（3）求出DG是解答关键．