Question

若正整系数二次方程4x²+mx+n=0有相异的两个有理根p，q，且p＞q，又方程x²-px+2q=0与方程x²-qx+2p=0有一公共根，则方程x²-px+2q=0的另一根为

 

．

Answer 1

分析：方程4x²+mx+n=0有相异的两个有理根p，q，方程x²-px+2q=0与方程x²-qx+2p=0有一公共根，且p＞q，由已知条件先求出m，再求出n的值，根据根与系数的关系即可进行求解．

解答：解：设方程x²-px+2q=0与方程x²-qx+2p=0的公共根为a，则

a2-pa+2q=0 a2-qa+2p=0

，
∴（p-q）（a+2）=0，
又∵p＞q，∴p-q≠0，即a+2=0，
∴a=-2，代入到x²-px+2q=0得2²+2p+2q=0，
∴p+q=-2，
又∵4x²+mx+n=0有相异二有理根p，q，
∴p+q=-

m

4

=-2，
∴m=8，而△=m²-16n＞0，
∴8²-16n＞0，n＜4，
∵n为正整数，且△=m²-16n=8²-16n=16（4-n）为完全平方数，所以4-n=1，得n=3，
由于

p+q=2 pq= 3 4

，
解得

p=- 3 2 q=- 1 2

（舍去）或

p=- 1 2 q=- 3 2

，
∴x2+

1

2

x-3=0，
设方程x²-px+2q=0的另一根为β，则（-2）β=-3，
∴β=

3

2

．
故答案为：

3

2

点评：本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度较大，主要掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．