Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，DE=BF．

（1）判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明；

（2）若EF=4，DE=BF=2，求四边形AECF的周长．

Answer 1

【答案】（1）四边形AECF是菱形，理由见解析；（2）四边形AECF的周长为．

【解析】

（1）首先连接AC，交BD于点O，根据正方形的性质，可得AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，又由DE=BF，得出OE=OF，对角线互相垂直平分，进而可判定四边形AECF是菱形；

（2）由已知条件可得，AC=BD=8，根据勾股定理，得出AE，进而可得出四边形AECF的周长.

（1）四边形AECF是菱形，理由如下：

连接AC，交BD于点O，如图所示,

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD

∵DE=BF

∴OE=OF

∴四边形AECF是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形)；

（2）∵EF=4，DE=BF=2，

∴AC=BD=8，

∴AE=OA2+OE2=，

∴四边形AECF的周长为．