Question

如图，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆，∠ADE=90°，延长ED到C使DC=AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE交AC于点H．求证：

（1）AC是⊙O的切线．
（2）HC=2AH．

Answer 1

（1）根据圆周角定理由∠ADE=90°得AE为⊙O的直径，再根据等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根据正方形得到∠DAC=45°，则∠EAC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论。
（2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，则AH：CH=AB：ED，根据等腰直角三角形和正方形的性质易得EC=2AB，则AH：CH=1：2

分析：（1）根据圆周角定理由∠ADE=90°得AE为⊙O的直径，再根据等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根据正方形得到∠DAC=45°，则∠EAC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论。
（2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，则AH：CH=AB：ED，根据等腰直角三角形和正方形的性质易得EC=2AB，则AH：CH=1：2。
证明：（1）∵∠ADE=90°，∴AE为⊙O的直径。
∵△ADE为等腰直角三角形，∴∠EAD=45°。
∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC=45°。
∴∠EAC=45°+45°=90°。∴AC⊥AE。
∵AE是⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线。
（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD。
∴△ABH∽△CEH。∴AH：CH=AB：ED。
∵△ADE为等腰直角三角形，∴AD=ED。
又∵AD=AB=DC，∴EC=2AB。
∴AH：CH=1：2，即HC=2AH。