Question

2．如图，从△ABC顶点A引∠ABC、∠ACB平分线的垂线，垂足分别为D、E，求证：
（1）DE∥BC；
（2）DE=$\frac{1}{2}$（AB+AC-BC）．

Answer 1

分析 （1）分别延长AD、AE与直线BC交于点F、G，根据AD⊥BD，得到∠ADB=∠GDB=90°，再根据BD=BD，∠ABD=∠GBD，证得△ABD≌△GBD，进而得到AD=DG、AE=EF，证得DE∥FG．
（2）根据上题证得AB=BG，AC=CF，由已知图形中的线段数量关系可得FG=BC-BF-CG，BF=BG-EG，CG=CF-FG，从而证得结论．

解答 证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠GBD．
∵在△ABD与△GBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠GBD}\\{DB=DB}\\{∠ADB=∠GDB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△GBD（ASA），
∴AD=DG，
∴点D是边AG的中点．
同理，△ACF≌△CEF（ASA），
∴AE=EF，
∴点E是边AF的中点．
∴DE是△AGF的中位线，
∴DE∥GF，
则DE∥BC；
（2）
∵DE是△AGF的中位线，BG=AB，CF=AC，
∴DE=$\frac{1}{2}$FG，
∵FG=BC-BF-CG，BF=BG-EG，CG=CF-FG，
∴DE=$\frac{1}{2}$（AB+AC-BC）．

点评 本题考查了三角形的中位线定理及三角形的有关知识，解题的关键是正确的利用中位线定理得到中位线与第三边的位置或数量关系．