Question

1．RT△ABC中，∠ABC=30°，CD⊥AB，将△ACD绕A旋转至△AC′D′，连接D′C，M、N分别是BC′和D′C的中点，连接MN，探索D′C和MN的数量及位置关系．

Answer 1

分析 结论：MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD′，MN⊥CD′．如图，延长C′D′到F，使得D′F=CD，连接AF、BF，延长D′M到E，使得ME=MD′，连接BE，延长AD′交BC于点O，交BE的延长线于H，连接CM．首先证明△BAF∽△CAD′，推出$\frac{BF}{CD′}$=$\frac{AB}{AC}$=2，推出BF=2CD′，由C′D′=D′F，C′M=MB，推出BF=2D′M，推出CD′=D′M，由△C′MD′≌△BME，
推出∠EBM=∠D′C′M，EB=C′D′=D′F，推出BE∥C′F，推出四边形BED′F是平行四边形，再证明△CBE∽△CAD′，推出∠ACD′=∠BCE，∠D′CE=∠ACB=90°，由ED′=2CD′，推出∠CED′=30°，∠CD′M=60°，推出△CMD′是等边三角形，由此即可解决问题．

解答 解：结论：MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD′，MN⊥CD′．
理由：如图，延长C′D′到F，使得D′F=CD，连接AF、BF，延长D′M到E，使得ME=MD′，连接BE，延长AD′交BC于点O，交BE的延长线于H，连接CM．

∵AD′⊥C′F，C′D′=D′F，
∴AC′=AF，
∴∠D′AC′=∠D′AF=∠CAB=60°，
∴∠CAD′=∠BAF，
∵$\frac{AF}{AD′}$=$\frac{AB}{AC}$=2，
∴△BAF∽△CAD′，
∴$\frac{BF}{CD′}$=$\frac{AB}{AC}$=2，
∴BF=2CD′，
∵C′D′=D′F，C′M=MB，
∴BF=2D′M，
∴CD′=D′M，
在△C′MD′和△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{C′M=BM}\\{∠C′MD′=∠EMB}\\{D′M=ME}\end{array}\right.$，
∴△C′MD′≌△BME，
∴∠EBM=∠D′C′M，EB=C′D′=D′F，
∴BE∥C′F，
∴四边形BED′F是平行四边形，
∴BF=ED′，
∵AD′⊥C′F，
∴BH⊥AH，
∵∠ACO=∠OHB，∠AOC=∠BOH，
∴∠CAO=∠OBH，
∵$\frac{BE}{AD′}$=$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴△CBE∽△CAD′，
∴∠ACD′=∠BCE，
∴∠D′CE=∠ACB=90°，
∵ED′=2CD′，
∴∠CED′=30°，∠CD′M=60°，
∴△CMD′是等边三角形，
∵D′N=CN，
∴MN⊥CD′，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD′．

点评 本题考查旋转变换．全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质．平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，题目比较难，属于竞赛题目．