Question

如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，点E和F在边AB上，且CE∥AD，DF∥BC，DF与CE相交于点G，若△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，则四边形ABCD的面积等于

 

．

Answer 1

分析：由于AB∥CD，利用平行线分线段成比例定理的推论可证△EFG∽△CDG，再利用相似三角形闽籍比等于相似比的平方，可得S_△EFG：S_△CDG=（

GF

DG

）²=（

GE

CG

）²，而△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，
于是（

GF

DG

）²=（

GE

CG

）²=

1

2

，于是有

GF

DG

=

GE

CG

=

2

2

，易求

GE

CE

=

1

2 +1

=

2

-1，同样由于DF∥BC，于是△EFG∽△EBC，那么S_△EFG：S_△EBC=（

GE

EC

）²=3-2

2

，从而可求S_△EBC，也就易求
S_{四边形GFBC}，最后可求出S_{四边形ABCD}．

解答：解：∵AB∥CD，
∴△EFG∽△CDG，
∴S_△EFG：S_△CDG=（

GF

DG

）²=（

GE

CG

）²，
又∵△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，
∴（

GF

DG

）²=（

GE

CG

）²=

1

2

，
∴

GF

DG

=

GE

CG

=

2

2

，
∴

GE

CE

=

1

2 +1

=

2

-1，
∵DF∥BC，
∴△EFG∽△EBC，
∴S_△EFG：S_△EBC=（

GE

EC

）²=3-2

2

，
∴S_△EBC=3+2

2

，
∴S_{四边形GFBC}=3+2

2

-1=2+2

2

，
同理S_{四边形GDAE}=2+2

2

，
∴S_{四边形ABCD}=1+2+2+2

2

+2+2

2

=7+4

2

．
故答案为：7+4

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．相似三角形面积比等于相似比的平方．