Question

【题目】如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△PBQ，旋转角为α，且45°＜α＜90°．

（1）连接AP，CQ，则＝　 　；

（2）若QD⊥BC，垂足为点D，∠BQD＝15°，QD与PB交于点E，∠BEQ的平分线EF交AB的延长线于点F．

①求旋转角α的大小；

②求∠F的度数；

③求证：EQ+EB＝EF．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①75°；②15°；③证明见解析

【解析】

（1）根据题意利用相似三角形的判定与性质通过证明△ABP∽△CBQ，可得＝；

（2）①根据题意由直角三角形的性质可求∠CBQ=75°，即可求解；

②根据题意直接由三角形的外角性质进行分析即可求解；

③由题意在EF上截取EH=EB，连接BH，由“AAS”可证△BHF≌△BEQ，可得EQ=HF，进而即可得出结论．

解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴AB＝BC，∠ABC＝45°＝∠BAC

∵将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△PBQ，

∴∠ABC＝∠PBQ＝45°，AB＝BP，BC＝BQ，

∴∠ABP＝∠CBQ，，

∴△ABP∽△CBQ，

∴＝，

故答案为：；

（2）①∵QD⊥BC，

∴∠QDB＝90°，且∠BQD＝15°，

∴∠CBQ＝75°，

∴旋转角α为75°；

②∵∠DBE＝∠CBQ﹣∠PBQ＝75°﹣45°＝30°，

∴∠DEB＝60°，∠ABP＝75°，

∴∠BEQ＝120°，

∵EF平分∠BEQ，

∴∠BEF＝60°，

∵∠ABP＝∠F+∠BEF，

∴∠F＝75°﹣60°＝15°；

③如图，在EF上截取EH＝EB，连接BH，

∵EB＝EH，∠BEF＝60°，

∴△BEH是等边三角形，

∴BE＝BH＝EH，∠BHE＝60°，

∴∠BHF＝∠BEQ＝120°，且∠F＝∠BQD＝15°，BE＝BH，

∴△BHF≌△BEQ（AAS）

∴EQ＝HF，

∴EQ+EB＝HF+EH＝EF．