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(2007•内江)如图,已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标是(0,16),AB平行于x轴,B,C,D三点在抛物线y=x2上,DC交y轴于N点,一条直线OE与AB交于E点,与DC交于F点,如果E点的横坐标为a,四边形ADFE的面积为
(1)求出B,D两点的坐标;
(2)求a的值;
(3)作△ADN的内切圆⊙P,切点分别为M,K,H,求tan∠PFM的值.

【答案】分析:(1)已知了抛物线的解析式,而B的纵坐标就是A点的纵坐标,可代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标,也就知道了AB的长,由于四边形ABCD是平行四边形,因此AB=CD,根据抛物线的对称性,即可求出D点的横坐标.然后代入抛物线的解析式中即可得出D点的坐标;
(2)先根据E点坐标表示出直线上OE的解析式,进而求出F点的坐标.在梯形ADFE中,上下底的长就可求出,高是AN即A、D两点纵坐标的差,然后可根据梯形ADFE的面积求出a的值.
(3)求∠PFM的正切值,就要构建直角三角形,连接PM,PK,直角三角形PMN中,已知了FN的长(根据F点坐标可求得),而MN=PM=r,因此求出圆P的半径是关键.△ADN中,根据A、D两点的坐标即可求出AD、AN、DN的长.由于圆P内切于△ADN,因此可根据三角形内切圆半径公式求出圆P的半径.进而可在直角三角形PMF中,根据tan∠PFM=r:(r+FN)求出∠PFM的正切值.
解答:解:(1)∵点A的坐标为(0,16),且AB∥x轴
∴B点纵坐标为16,且B点在抛物线y=x2
∴点B的坐标为(10,16)
又∵点D、C在抛物线y=x2上,且CD∥x轴
∴D、C两点关于y轴对称
∴DN=CN=5
∴D点的坐标为(-5,4).

(2)设E点的坐标为(a,16),则直线OE的解析式为:
∴F点的坐标为(
由AE=a,DF=且S梯形ADFE=
解得a=5.

(3)连接PH,PM,PK
∵⊙P是△AND的内切圆,H,M,K为切点
∴PH⊥AD PM⊥DN PK⊥AN
在Rt△AND中,由DN=5,AN=12,得AD=13
设⊙P的半径为r,则S△AND=(5+12+13)r=×5×12,r=2
在正方形PMNK中,PM=MN=2
∴MF=MN+NF=2+=
在Rt△PMF中,tan∠PFM=
点评:本题考查了三角形的内切圆,解直角三角形,平行四边形的性质,二次函数的性质等知识点,综合性较强,考查学生数形结合的数学思想方法.
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