Question

11．概念学习
已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．
理解应用
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真”；反之，则写“假”
①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点；真
②任意的三角形都存在等角点．假
（2）探究图①中∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点．求该三角形三个内角的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等角点的定义，可知内角分别为30、60、90的三角形存在等角点，而等边三角形不存在等角点，据此判断即可；
（2）根据△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC=∠PBC进行推导，即可得出∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系；
（3）先连接PB，PC，再根据△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，以及三角形内角和为180°，得出关于∠A的方程，求得∠A的度数即得出可三角形三个内角的度数．

解答 解：（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；
②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；
故答案为：真，假；

（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC=∠PBC，
∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP；

（3）如图②，连接PB，PC
∵P为△ABC的角平分线的交点，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵P为△ABC的等角点，
∴∠PBC=∠BAC，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠BAC，∠ACB=∠BPC=4∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠A+4∠A=180°，
∴∠A=$\frac{180°}{7}$，
∴该三角形三个内角的度数分别为$\frac{180°}{7}$，$\frac{360°}{7}$，$\frac{720°}{7}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清等角点的定义，根据等角点的定义以及三角形的内角和为180°，得出角的关系式并进行求解．