Question

（2005•重庆）已知抛物线y=-x²+2（k-1）x+k+2与x轴交于A、B两点，且点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设OA、OB的长分别为a、b，且a：b=1：5，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，以AB为直径的⊙D与y轴的正半轴交于P点，过P点作⊙D的切线交x轴于E点，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A、B分别在x轴的正负半轴上，由此可得出A、B两点横坐标的积应该是负数，即-（k+2）＜0，由此可得出k的取值范围；
（2）可根据OA、OB的比例关系设出A、B两点的横坐标（要注意A点在负半轴上），然后根据根与系数的关系即可得出一个关于k的方程组，进而可求出k的值，也就求出了抛物线的解析式；
（3）求E点的坐标就是求OE的长，已知了A、B的坐标可求出D的坐标，以及圆D的半径长，如果连接DP，在直角三角形OPE中，可用射影定理得出DP²=OD•DE即r²=OD•DE，由此可求出DE的长，已知D的坐标，可据此求出E的坐标．
解答：解：（1）设点A（x₁，0），B（x₂，0）且满足x₁＜0＜x₂
由题意可知x₁x₂=-（k+2）＜0，即k＞-2．

（2）∵a：b=1：5，设OA=a，即-x₁=a．
则OB=5a，即x₂=5a，a＞0
∴，即
∴k=2a+1，
即5a²-2a-3=0，解得a₁=1，（舍去）
∴k=3
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x+5．

（3）由（2）可知，当-x²+4x+5=0时，可得x₁=-1，x₂=5．
即A（-1，0），B（5，0），
∴AB=6，则点D的坐标为（2，0）
当PE是⊙D的切线时，PE⊥PD
由Rt△DPO∽Rt△DEP可得PD²=OD•DE
即3²=2×DE
∴DE=，OE=DE-OD=-2=，
故点E的坐标为（-，0）．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系、切线的性质等重要知识点，综合性较强．