Question

如图，在平面直角坐标系中，已知直线l₁和l₂相交于点A，它们的解析式分别为l₁：y=

3

4

x，l₂：y=-

3

4

x+

20

3

．直线l₂与两坐标轴分别相交于点B和点C，点P在线段OB上从点O出发．以每秒1个单位的速度向点B运动，同时点Q从点B出发以每秒4个单位的速度沿B→O→C→B的方向向点B运动，过点P作直线PM⊥OB分别交l₁，l₂于点M，N．连接MQ．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）
（1）求点A的坐标；
（2）点Q在OC上运动时，试求t为何值时，四边形MNCQ为平行四边形；
（3）试探究是否存在某一时刻t，使MQ∥OB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题,压轴题

分析：（1）将两直线解析式联立组成方程组，求出方程组的解即可得到A的坐标；
（2）由PM垂直于x轴，y轴垂直于x轴，得到MN与QC平行，当MN=QC时，四边形MNCQ为平行四边形，MN=NP-MP，由OP=t，得到M与N的横坐标都为t，分别代入两直线方程中，表示出出NP与MP，得到MN，由Q走过的路程减去OB得到OQ的长，再由OC-OQ表示出QC，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意t的值；
（3）分别根据①当点Q在OC上时，②当点Q在BC上时，求出即可．

解答：解：（1）将两直线解析式联立得：

y= 3 4 x y=- 4 3 x+ 20 3

，
解得：

x= 16 5 y= 12 5

，
∴A（

16

5

，

12

5

）；

（2）∵PM⊥x轴，y轴⊥x轴，
∴PM∥CQ，
当PM=CQ时，四边形MNCQ为平行四边形，
对于直线l₂：y=-

4

3

x+

20

3

，令x=0，求出y=

20

3

；令y=0，求出x=5，
∴B（5，0），C（0，

20

3

），即OB=5，OC=

20

3

，
∴CQ=OC-OQ=

20

3

-（4t-5）=

35

3

-4t，
∵OP=t，
∴M与N横坐标为t，
∴MN=PN-PM=-

4

3

t+

20

3

-

3

4

t=-

25

12

t+

20

3

，
∴

35

3

-4t=-

25

12

t+

20

3

，
解得：t=

60

23

，
则当t=

60

23

秒时，四边形MNCQ为平行四边形；

（3）①当点Q在OC上时，如图2，CQ=

20

3

+5-4t，MP=

3

4

t，
根据平行线的性质可得：

20

3

+5-4t=-

4

3

t+

20

3

-

3

4

t，
解得：t=

60

23

，
②当点Q在BC上时，如图3：
在△BOC中，
sin∠OBC=

OC

BC

=

4

5

，MP=

3

4

t，QB=20-4t，
在Rt△BPQ中，点Q到x轴的距离=QBsin∠OBC=

4

5

（20-4t），
点Q到x轴的距离为MP，即

3

4

t=

4

5

（20-4t），
解得：t=

320

79

．
综上所述：当t=

60

23

或t=

320

79

时，MQ∥OB．

点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点问题，平行四边形的判定与性质，坐标与图形性质，属于动点问题，是近几年中考的热点试题．