Question

已知：二次函数y=

1

4

x2-

5

2

x+6的图象与x轴从左到右的两个交点依次为A、B，与y轴交点为C；
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过B、C两点的一次函数的解析式；
（3）如果P（x，y）是线段BC上的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（4）是否存在这样的点P，使得PO=AO？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0可求得C点坐标，令y=0可求得A、B的坐标；
（2）已知了B、C的坐标，用待定系数法求解即可；
（3）根据直线BC的解析式可用x表示出P点的纵坐标，以OA为底，P点纵坐标的绝对值为高即可得到△OAP的面积，由此可求得S、x的函数关系式；
（4）易知△OBC是等腰Rt△，且直角边长为6，因此点O到BC的距离为3

2

（即

18

），显然这个距离要大于4，因此P点的坐标无论去何值，都不存在OP=OA的情况．

解答：解：（1）由题意，在y=

1

4

x²-

5

2

x+6中，令x=0及y=0
可得：A（4，0），B（6，0），C（0，6）；（3分）

（2）设一次函数的解析式为：y=kx+b；（4分）
将B（6，0）、C（0，6）代入上式，得：

6k+b=0 b=6

，
解得

k=-1 b=6

；
∴y=-x+6；（5分）

（3）根据题意得S_△POA=

1

2

×4×y，
∴y=-x+6；
∴S_△POA=-2x+12；（7分）
∴0≤x＜6；（8分）

（4）∵|OB|=|OC|，∠COB=90°；
∴△BOC是等腰直角三角形；
当OP⊥BC时，OP最短；
OP=

1

2

BC=

1

2

36+36

=3

2

=

18

，（10分）
而OA=4，
∴

18

＞4；（11分）
∴不存在这样的点P，使得OP=AO．（12分）

点评：此题考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法、一次函数解析式的确定、图形面积的计算方法等重要知识点，综合性较强，难度适中．