Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上,且DE=DA，AE与BC交于点F．

（1）求证：FD=CD；

（2）若AE=8，tan∠E=，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；

【解析】

（1）先利用切线的性质得出∠CAD+∠BAD=90°，再利用直径所对的圆周角是直角得出∠B+∠BAD=90°，从而可证明∠B=∠EAD，进而得出∠EAD=∠CAD，进而判断出△ADF≌△ADC，即可得出结论；（2）过点D作DG⊥AE，垂足为G．依据等腰三角形的性质可得到EG=AG=4，然后在Rt△GEG中，依据锐角三角函数的定义可得到DG的长，然后依据勾股定理可得到AD=ED=5，然后在Rt△ABD中，依据锐角三角函数的定义可求得AB的长，从而可求得⊙O的半径的长．

（1）∵AC 是⊙O 的切线，

∴BA⊥AC，

∴∠CAD+∠BAD=90°，

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠CAD=∠B，

∵DA=DE，

∴∠EAD=∠E，

又∵∠B=∠E，

∴∠B=∠EAD，

∴∠EAD=∠CAD，

在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADC=90°，AD=AD，∠FAD=∠CAD，

∴△ADF≌△ADC，

∴FD=CD．

（2）如下图所示：过点D作DG⊥AE，垂足为G．

∵DE=AE，DG⊥AE，

∴EG=AG=AE=4．

∵tan∠E=，

∴=，即=，解得DG=4．

∴ED==5．

∵∠B=∠E，tan∠E=，

∴sin∠B=，即，解得AB=．

∴⊙O的半径为．