Question

7．如图，在?ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，连接AN，BM，CM，DN，AN与BM交于点O．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）若点P在直线BM上，且BM=4，CM=3，∠BMC=90°，求△PND的周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质首先得出AB=CD，AM=CN，进而得出△ABM≌△CDN；
（2）首先得出平行四边形ABNM为菱形，进而得出当点P位于点M时，NP+DP取到最小值为AD，利用勾股定理求出BC，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠BAM=∠DCN，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴AM=CN，
在△ABM和△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠BAM=∠DCN}&{\;}\\{AM=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CDN（SAS）；
（2）解：∵在?ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM∥BN，AM=NB，
∴四边形ABNM为平行四边形；
在Rt△BCM中，∠BMC=90°，N为BC中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC=BN，
∴平行四边形ABNM为菱形．
∴BM垂直平分AN，
∴点N关于BM的对称点为点A．
∴当点P位于点M时，NP+DP取到最小值为AD．
在Rt△BCM中，BM=4，CM=3，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{B{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴AD=BC=5，
又由（1）得：△ABM≌△CDN，
∴BM=DN=4，
∴△PND的周长的最小值：5+4=9．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形和菱形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，得出当点P位于点M时，NP+DP取到最小值为AD是解题关键．