Question

【题目】如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．

①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；

②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，；②存在，(2，﹣3)或(3﹣，2﹣4)

【解析】

（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+即可求解；

②分PM＝PC、PM＝MC两种情况，分别求解即可．

解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，

故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），

将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，

解得：，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），

①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝时，PM最大值为：；

②存在，理由：

PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；

PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；

MC2＝（x﹣3+3）2+x2；

（Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，

解得：x＝0或2（舍去0），

故x＝2，故点P（2，﹣3）；

（Ⅱ）当PM＝MC时，则（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，

解得：x＝0或3±（舍去0和3+），

故x＝3﹣，则x2﹣2x﹣3＝2﹣4，

故点P（3﹣，2﹣4）．

综上，点P的坐标为：(2，﹣3)或(3﹣，2﹣4)．