Question

在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为

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个单位长度．如图，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．
（1）求k的值；
（2）若b=4，点P为直线y=kx+b上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：认真读题，①由题意可得B的坐标，又由OA=OB可得到点A的坐标，把坐标代入解析式消去b，可求得k的值；②要求p点的坐标，可先设出坐标，找关系列出方程可求解，要列方程必须先求出OP的大小，于是借助等腰直角三角形进行解答，答案可得．

解答：解：（1）根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为
（b，0），代入y=kx+b得k=-1．

（2）过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OD，OP，
∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=

1

2

∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，
∴在Rt△POD中，OD=PD=

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，
利用勾股定理得出：OP=

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．
∵P在直线y=-x+4上，设P（m，-m+4），则OF=m，PF=-m+4，
∵∠PFO=90°，OF²+PF²=PO²，
∴m²+（-m+4）²=（

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）²，
解得m=1或3，
∴P的坐标为（1，3）或（3，1）
答：①k的值为-1；②P的坐标为（1，3）或（3，1）．

点评：本题考查了一次函数的综合应用；有函数参与的几何题往往要找出等量关系后利用函数的解析式列方程进行解答，这种数形结合的思想非常重要，要认真掌握．