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【题目】如图1,过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E,分别取BC,DE的中点M,N,连接MN.

(1)发现:在图1中, =
(2)应用:如图2,将△ADE绕点A旋转,请求出 的值;

(3)拓展:如图3,△ABC和△ADE是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE,M,N分别是底边BC,DE的中点,若BD⊥CE,请直接写出 的值.

【答案】
(1)
(2)

解:如图2中,连接AM、AN.

∵△ABC,△ADE都是等边三角形,BM=MC,DN=NE,

∴AM⊥BC,AN⊥DE,

=sin60°, =sin60°,

=

∵∠MAB=∠DAN=30°,

∴∠BAD=∠MAN,

∴△BAD∽△MAN,

= =sin60°=


(3)

解:如图3中,连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O.

∵AB=AC,AD=AE,BM=CM,DN=NE,

∴AM⊥BC,AN⊥DE,

∵∠BAC=∠DAE,

∴∠ABC=∠ADE,

∴sin∠ABM=sin∠ADN,

=

∵∠BAM= BAC,∠DAN= ∠DAE,

∴∠BAM=∠DAN,

∴∠BAD=∠MAN.

∴△BAD∽△MAN,

= =sin∠ABC,

∵∠BAC=∠DAE,

∴∠BAD=∠CAE,

∵AB=AC,AD=AE,

∴△BAD≌△CAE,

∴∠ABD=∠ACE,

∵BD⊥CE,

∴∠BHC=90°,

∴∠ACE+∠COH=90°,∵∠AOB=∠COH,

∴∠ABD+∠AOB=90°,

∴∠BAO=90°,

∵AB=AC,

∴∠ABC=45°,

=sin45°=


【解析】解:(1)如图1中,作DH⊥BC于H,连接AM.

∵AB=AC,BM=CM,
∴AM⊥BC,
∵△ADE时等边三角形,
∴∠ADE=60°=∠B,
∴DE∥BC,
∵AM⊥BC,
∴AM⊥DE,
∴AM平分线段DE,
∵DN=NE,
∴A、N、M共线,
∴∠NMH=∠MND=∠DHM=90°,
∴四边形MNDH时矩形,
∴MN=DH,
= =sin60°=
故答案为
(1)如图1中,作DH⊥BC于H,连接AM.只要证明四边形MNDH时矩形,即可解决问题.(2)如图2中,连接AM、AN.只要证明△BAD∽△MAN,利用相似比为 即可解决问题.(3)如图3中,连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O.由△BAD∽△MAN,推出 = =sin∠ABC,只要证明△ABC时等腰直角三角形即可解决问题.

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