【题目】如图1,过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E,分别取BC,DE的中点M,N,连接MN.
(1)发现:在图1中, =;
(2)应用:如图2,将△ADE绕点A旋转,请求出 的值;
(3)拓展:如图3,△ABC和△ADE是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE,M,N分别是底边BC,DE的中点,若BD⊥CE,请直接写出 的值.
【答案】
(1)
(2)
解:如图2中,连接AM、AN.
∵△ABC,△ADE都是等边三角形,BM=MC,DN=NE,
∴AM⊥BC,AN⊥DE,
∴ =sin60°, =sin60°,
∴ = ,
∵∠MAB=∠DAN=30°,
∴∠BAD=∠MAN,
∴△BAD∽△MAN,
∴ = =sin60°=
(3)
解:如图3中,连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O.
∵AB=AC,AD=AE,BM=CM,DN=NE,
∴AM⊥BC,AN⊥DE,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠ABC=∠ADE,
∴sin∠ABM=sin∠ADN,
∴ = ,
∵∠BAM= BAC,∠DAN= ∠DAE,
∴∠BAM=∠DAN,
∴∠BAD=∠MAN.
∴△BAD∽△MAN,
∴ = =sin∠ABC,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,
∵BD⊥CE,
∴∠BHC=90°,
∴∠ACE+∠COH=90°,∵∠AOB=∠COH,
∴∠ABD+∠AOB=90°,
∴∠BAO=90°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴ =sin45°=
【解析】解:(1)如图1中,作DH⊥BC于H,连接AM.
∵AB=AC,BM=CM,
∴AM⊥BC,
∵△ADE时等边三角形,
∴∠ADE=60°=∠B,
∴DE∥BC,
∵AM⊥BC,
∴AM⊥DE,
∴AM平分线段DE,
∵DN=NE,
∴A、N、M共线,
∴∠NMH=∠MND=∠DHM=90°,
∴四边形MNDH时矩形,
∴MN=DH,
∴ = =sin60°= ,
故答案为 .
(1)如图1中,作DH⊥BC于H,连接AM.只要证明四边形MNDH时矩形,即可解决问题.(2)如图2中,连接AM、AN.只要证明△BAD∽△MAN,利用相似比为 即可解决问题.(3)如图3中,连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O.由△BAD∽△MAN,推出 = =sin∠ABC,只要证明△ABC时等腰直角三角形即可解决问题.
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【题目】如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)和反比例函数y2= (m≠0)的图象交于点A(﹣1,6),B(a,﹣2).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据图象直接写出y1>y2时,x的取值范围.
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【题目】“五一”假期,成都某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察,公司按定额购买了前往各地的车票,如图是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图,根据统计图回答下列问题:
若去丙地的车票占全部车票的,则总票数为______ 张,去丁地的车票有______ 张
若公司采用随机抽取的方式发车票,小胡先从所有的车票中随机抽取一张所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀,那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少?
若有一张车票,小王和小李都想要,他们决定采取掷一枚质地均匀的正方体骰子的方式来确定给谁,其上的数字是3的倍数,则给小王,否则给小李请问这个规则对双方是否公平?若公平请说明理由;若不公平,请通过计算说明对谁更有利.
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【题目】数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度(图中GH的长),经测量知CD=2m,在B处测得点D的仰角为60°,在A处测得点C的仰角为30°,AB=10m,且A、B、H三点共线,请根据以上数据计算GH的长( ,要求结果精确得到0.1m)
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【题目】如图所示,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.
(1)∠AOD的余角是 ______ ,∠COD的余角是 ______
(2)OE是∠BOC的平分线吗?请说明理由.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法:①2a+b=0,②当﹣1≤x≤3时,y<0;③3a+c=0;④若(x1 , y1)(x2、y2)在函数图象上,当0<x1<x2时,y1<y2 , 其中正确的是( )
A.①②④
B.①③
C.①②③
D.①③④
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【题目】画图并填空:如图,方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点D的对应点D′.
(1)根据特征画出平移后的△A′B′C′;
(2)利用网格的特征,画出AC边上的高BE并标出画法过程中的特征点;
(3)△A′B′C′的面积为 .
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