Question

如图，点A、C分别在一个含45°的直角三角板HBE的两条直角边BH和BE上，且BA=BC，过点C作BE的垂线CD，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，交HE于P．
（1）试判断△PCE的形状，并请说明理由；
（2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）根据∠PCE=

1

2

∠DCE=

1

2

×90°=45°，求证∠CPE=90°，然后即可判断三角形的形状．
（2）根据∠HEB=∠H=45°得HB=BE，再根据BA=BC和∠HAE=120°，利用ASA求证△HAE≌△CEF，得AE=EF，又因为AE=2AB．然后即可求得EF．

解答：解：（1）△PCE是等腰直角三角形，
理由如下：
∵∠PCE=

1

2

∠DCE=

1

2

×90°=45°
∠PEC=45°
∴∠PCE=∠PEC
∠CPE=90°
∴△PCE是等腰直角三角形

（2）∵∠HEB=∠H=45°
∴HB=BE
∵BA=BC
∴AH=CE
而∠HAE=120°
∴∠BAE=60°，∠AEB=30°
又∵∠AEF=90°
∴∠CEF=120°=∠HAE
而∠H=∠FCE=45°
∴△HAE≌△CEF（ASA）
∴AE=EF
又∵AE=2AB=2×3=6
∴EF=6

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，解答（2）的关键是利用ASA求证△HAE≌△CEF，此题有一定的拔高难度，属于中档题．