分析 (1)根据相似三角形的判定定理即可得到结论;
(2)①取AP在中点G,连接MG,设AG=x,则PG=x,BG=3-x,根据三角形的中位线的性质得到MG∥AC,由平行线的性质得到∠BGM=∠A,∵∠根据相似三角形的性质得到$\frac{2x}{1}=\frac{2}{3-x}$,求得x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$,即可得到结论;②过C作CH⊥AB于H,延长AB到E,使BE=BP解直角三角形得到CH=$\sqrt{3}$,HE=$\sqrt{3}$+x,根据勾股定理得到CE2=($\sqrt{3})^{2}$+9$\sqrt{3}$+x)2根据相似三角形的性质得到CE2=EP•EA列方程即可得到结论.
解答 解:(1)∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,
∴△ACP∽△ABC,
∴$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$,
∴AC2=AP•AB;
(2)①取AP在中点G,连接MG,设AG=x,则PG=x,BG=3-x,
∵M是PC的中点,
∴MG∥AC,
∴∠BGM=∠A,
∵∠ACP=∠PBM,
∴△APC∽△GMB,
∴$\frac{AP}{GM}=\frac{AC}{BG}$,
即$\frac{2x}{1}=\frac{2}{3-x}$,
∴x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$,
∵AB=3,
∴AP=3-$\sqrt{5}$,
∴PB=$\sqrt{5}$;
②过C作CH⊥AB于H,延长AB到E,使BE=BP,
设BP=x.
∵∠ABC=45°,∠A=60°,
∴CH=$\sqrt{3}$,HE=$\sqrt{3}$+x,
∵CE2=($\sqrt{3})^{2}$+($\sqrt{3}$+x)2,
∵PB=BE,PM=CM,
∴BM∥CE,
∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A,
∵∠E=∠E,
∴△ECP∽△EAC,
∴$\frac{CE}{EP}=\frac{AE}{CE}$,
∴CE2=EP•EA,
∴3+3+x2+2$\sqrt{3}$x=2x(x+$\sqrt{3}$+1),
∴x=$\sqrt{7}$-1,
∴PB=$\sqrt{7}$-1.
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,平行线的性质,三角形的中位线的性质,勾股定理,正确作出辅助线是解题的关键.
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