Question

（11分）如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0）、B（4，5）两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标．

Answer 1

（1）抛物线的解析式：y=x²-2x-3；
（2）；
（3）点M有4个，其横坐标分别为： ,,,．

解析试题分析：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x²+bx+c求出b和c的值即可；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，根据勾股定理可求出AB的长，进而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO= ．
（3）设点M的坐标为（x，x²-2x-3），点N的坐标为（x，x+1），在分两种情况：当点M在点N的上方时和当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形讨论求出符合题意的点M的横坐标即可．
（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x²+bx+c，得 ，
解得b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3．
（2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5．
在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5，
∴AC=BC．
∴∠BAC=45°，AB= ．
如图，过点O作OH⊥AB，垂足为H．

在Rt△AOH中，OA=1，
∴AH=OH=OA×sin45°= ，
∴BH=AB-AH=，
在Rt△BOH中，．
（3）直线AB的解析式为：y=x+1．
设点M的坐标为（x，x²-2x-3），
点N的坐标为（x，x+1），
①如图，当点M在点N的上方时，

则四边形MNCB是平行四边形，MN=BC=5．
由MN=（x²-2x-3）-（x+1）=x²-2x-3-x-1=x²-3x-4，
解方程x²-3x-4=5，
得 或．
②如图，当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形，NM=BC=5．

由MN=（x+1）-（x²-2x-3）=x+1-x²+2x+3=-x²+3x+4，
解方程-x²+3x+4=5，
得 或．
所以符合题意的点M有4个，其横坐标分别为： ,,,．
考点：二次函数综合题.