Question

某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．

（1）求证：DP＝DQ；
（2）如图，小明在图①的基础上做∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB:AP＝3:4，请帮小明算出△DEP的面积．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）PE＝QE．证明见解析；（3）△DEP的面积为.

试题分析：本题是一道几何证明题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点，试题难度不大，但要注意第（3）题中认真计算，避免出错.
求证DP＝DQ;只需证明△ADP≌△CDQ即可得到DP＝DQ.解题的关键是找出∠PDC的两个余角相等即∠ADP ＝∠CDQ，两三角形全等的条件就具备了.
PE＝QE．只需证明△PDE≌△QDE即可得到，由（1）的结论DP＝DQ加上DE是∠PDQ的平分线易用SAS证得结论.
（3）由AB:AP＝3:4，AB＝6可求AP＝8,BP＝2；直接由（1）和（2）的结论AP＝CQ、PE＝QE设CE＝x，则PE=8-x，利用勾股定理求得Rt△PEB的边PE，由此可得EQ的长度，这样△DEP的面积就不难求得了.
试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝90°
∵∠PDQ＝90°
∴∠ADP+∠PDC＝90°
∠CDQ+∠PDC＝90°
∠ADP＝∠CDQ
在△ADP与△CDQ中

∴△ADP≌△CDQ(ASA)
∴DP＝DQ
（2）解：PE＝QE．证明如下：
∵ DE是∠PDQ的平分线
∴∠PDE＝∠QDE
在△PDE与△QDE中

∴△PDE≌△QDE(SAS)
∴PE＝QE
（3）解：∵AB:AP＝3:4，AB＝6
∴AP＝8,BP＝2,
由（1）知：△ADP≌△CDQ 则AP＝CQ＝8
由（2）知：△PDE≌△QDE，PE＝QE
设CE＝x，则PE＝QE＝CQ-CE＝8-x
在Rt△PEB中，BP＝2,BE＝6＋x，PE＝8-x
由勾股定理得：2²＋（6＋x）²＝（8-x）²
解得：x＝
∴
∴△DEP的面积为：．