分析 (1)①利用待定系数法求抛物线的解析式,由对称性求点B的坐标,根据图象写出函数?的值y随x的增大而增大(即呈上升趋势)的x的取值;
②如图2,作辅助线,构建对称点F和直角角三角形AQE,根据S△ABQ=2S△ABP,得QE=2PD,证明△PAD∽△QAE,则$\frac{AE}{AD}=\frac{QE}{PD}$,得AE=2AD,设AD=a,根据QE=2FD列方程可求得a的值,并计算P的坐标;
(2)先令y=0求抛物线与x轴的两个交点坐标,根据图象中呈上升趋势的部分,有两部分:分别讨论,并列不等式或不等式组可得h的取值.
解答 解:(1)①把A(1,0)代入抛物线y=$\frac{1}{2}$(x-h)2-2中得:
$\frac{1}{2}$(x-h)2-2=0,
解得:h=3或h=-1,
∵点A在点B的左侧,
∴h>0,
∴h=3,
∴抛物线l的表达式为:y=$\frac{1}{2}$(x-3)2-2,
∴抛物线的对称轴是:直线x=3,
由对称性得:B(5,0),
由图象可知:当1<x<3或x>5时,函数?的值y随x的增大而增大;
②如图2,作PD⊥x轴于点D,延长PD交抛物线l于点F,作QE⊥x轴于E,则PD∥QE,
由对称性得:DF=PD,
∵S△ABQ=2S△ABP,
∴$\frac{1}{2}$AB•QE=2×$\frac{1}{2}$AB•PD,
∴QE=2PD,
∵PD∥QE,
∴△PAD∽△QAE,
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{QE}{PD}$,
∴AE=2AD,
设AD=a,则OD=1+a,OE=1+2a,P(1+a,-[$\frac{1}{2}$(1+a-3)2-2]),
∵点F、Q在抛物线l上,
∴PD=DF=-[$\frac{1}{2}$(1+a-3)2-2],
QE=$\frac{1}{2}$(1+2a-3)2-2,
∴$\frac{1}{2}$(1+2a-3)2-2=-2[$\frac{1}{2}$(1+a-3)2-2],
解得:a=$\frac{8}{3}$或a=0(舍),
∴P($\frac{11}{3}$,$\frac{16}{9}$);
(2)当y=0时,$\frac{1}{2}$(x-h)2-2=0,
解得:x=h+2或h-2,
∵点A在点B的左侧,且h>0,
∴A(h-2,0),B(h+2,0),
如图3,作抛物线的对称轴交抛物线于点C,
分两种情况:
①由图象可知:图象f在AC段时,函数f的值随x的增大而增大,
则$\left\{\begin{array}{l}{h-2≤2}\\{h≥3}\end{array}\right.$,
∴3≤h≤4,
②由图象可知:图象f点B的右侧时,函数f的值随x的增大而增大,
即:h+2≤2,
h≤0,
综上所述,当3≤h≤4或h≤0时,函数f的值随x的增大而增大.
点评 本题是二次函数的综合题,考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的增减性问题、三角形相似的性质和判定,与方程相结合,找等量关系,第二问还运用了数形结合的思想解决问题.
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