Question

16．x₁、x₂是方程2x²-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值．
（1）x₁²+x₂²   
（2）|x₁-x₂|
（3）x₁²+3x₂²-3x₂．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-$\frac{5}{2}$，
（1）利用完全平方公式得到x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式变形得到|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整体代入的方法计算；
（3）先根据一元二次方程解的定义得到2x₂²-3x₂-5=0，则2x₂²-3x₂=5，则x₁²+3x₂²-3x₂变形为x₁²+x₂²+2x₂²-3x₂，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-$\frac{5}{2}$，
（1）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（$\frac{3}{2}$）²-2×（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{29}{4}$；
（2）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-4×（-\frac{5}{2}）}$=$\frac{7}{2}$；
（3）∵x₂是方程2x²-3x-5=0的根，
∴2x₂²-3x₂-5=0，即2x₂²-3x₂=5，
∴x₁²+3x₂²-3x₂=x₁²+x₂²+2x₂²-3x₂=$\frac{29}{4}$+5=$\frac{49}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程解的定义．