在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,等边三角形OAB的一个顶点为A(2,0),另一个顶点B在第一象限内.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式;
(2)如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形,那么我们称这样的四边形为“筝形”.点Q在(1)的抛物线上,且以O、A、B、Q为顶点的四边形是“筝形”,求点Q的坐标;
(3)设△OAB的外接圆⊙M,试判断(2)中的点Q与⊙M的位置关系,并通过计算说明理由.
分析:(1)先求出点B,则设抛物线的顶点式,将点A代入即得到方程式;
(2)(ⅰ)当以OA、OB为边时,作QD⊥x轴于D,QD=ODtan∠QOD,QD=ODtan∠QOD,从而求得点Q.(ⅱ)当以OA、AB为边时,由对称性求得Q.(ⅲ)当以OB、AB为边时,抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形.求得点Q.
(3)点Q在⊙M内.由等边三角形性质可知△OAB的外接圆圆心M是(2)中BC与OQ的交点,求得△OMC∽△OQD.从而求得点M,进而求得MQ,从而求得点Q的位置.
解答:解:(1)过B作BC⊥x轴于C.
∵等边三角形OAB的一个顶点为A(2,0),
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∴OB=OA=2,AC=OC=1,∠BOC=60°.
∴BC=
OCtan60°=.
∴B
(1,).
设经过O、A、B三点的抛物线的
解析式为:
y=a(x-1)2+.
将A(2,0)代入得:
a(2-1)2+=0,
解得
a=-.
∴经过O、A、B三点的抛物线的解析式为
y=-(x-1)2+.
即
y=-x2+2x;
(2)依题意分为三种情况:
(ⅰ)当以OA、OB为边时,
∵OA=OB,
∴过O作OQ⊥AB交抛物线于Q.
则四边形OAQB是筝形,且∠QOA=30°.
作QD⊥x轴于D,QD=ODtan∠QOD,
设Q
(x,-x2+2x),则
-x2+2x=xtan30°.
解得:
x=.
∴Q
(,).
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(ⅱ)当以OA、AB为边时,由对称性可知Q
(,).
(ⅲ)当以OB、AB为边时,抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形.
∴Q
(,)或
(,).
(3)点Q在⊙M内.
由等边三角形性质可知△OAB的外接圆圆心M是(2)中BC与OQ的交点,
当Q
(,)时,
∵MC∥QD,
∴△OMC∽△OQD.
∴
=.
∴
MC==.
∴
M(1,).
∴MQ=
=
.
又
BM=,
∵
<
,
∴Q
(,)在⊙M内.
当Q
(,)时,由对称性可知点Q在⊙M内.
综述,点Q在⊙M内.
点评:本题考查了二次函数的综合运用,(1)先求出点B,则设抛物线的顶点式,将点A代入即得到方程式;(2)(ⅰ)当以OA、OB为边时,作QD⊥x轴于D,QD=ODtan∠QOD,QD=ODtan∠QOD,从而求得点Q.(ⅱ)当以OA、AB为边时,由对称性求得Q.(ⅲ)当以OB、AB为边时,抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形.求得点Q.(3)点Q在⊙M内.由等边三角形性质可知△OAB的外接圆圆心M是(2)中BC与OQ的交点,求得△OMC∽△OQD.从而求得点M,进而求得MQ,从而求得点Q的位置.本题有一定难度,思路性强.