分析 (1)过点D作DE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF,从而得出DE=AF,AE=BF,再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标;
(2)设反比例函数为y=$\frac{k}{x}$,根据平行的性质找出点B′、D′的坐标,再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组,解方程组解得出结论;
(3)假设存在,设点P的坐标为(m,0),点Q的坐标为(n,$\frac{6}{n}$).分B′D′为对角线或为边考虑,根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组,解方程组即可得出结论.
解答 解:(1)过点D作DE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,如图1所示.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=AB,∠BAD=90°,
∵∠EAD+∠ADE=90°,∠EAD+∠BAF=90°,
∴∠ADE=∠BAF.
在△ADE和△BAF中,有$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFA=90°}\\{∠ADE=BAF}\\{AD=BA}\end{array}\right.$,
∴△ADE≌△BAF(AAS),
∴DE=AF,AE=BF.
∵点A(-6,0),D(-7,3),
∴DE=3,AE=1,
∴点B的坐标为(-6+3,0+1),即(-3,1).
故答案为:(-3,1).
(2)设反比例函数为y=$\frac{k}{x}$,
由题意得:点B′坐标为(-3+t,1),点D′坐标为(-7+t,3),
∵点B′和D′在该比例函数图象上,
∴k=(-3+t)×1=(-7+t)×3,
解得:t=9,k=6,
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$.
(3)假设存在,设点P的坐标为(m,0),点Q的坐标为(n,$\frac{6}{n}$).
以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况:
①当B′D′为对角线时,
∵四边形B′PD′Q为平行四边形,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{n}-3=1}\\{m-6=2-n}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{13}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$,
∴P($\frac{13}{2}$,0),Q($\frac{3}{2}$,4);
②当B′D′为边时.
∵四边形PQB′D′为平行四边形,
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-n=6-2}\\{\frac{6}{n}-0=3-1}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{m=7}\\{n=3}\end{array}\right.$,
∴P(7,0),Q(3,2);
∵四边形B′QPD′为平行四边形,
∴$\left\{\begin{array}{l}{n-m=6-2}\\{0-\frac{6}{n}=3-1}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{m=-7}\\{n=-3}\end{array}\right.$.
综上可知:存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形,符合题意的点P、Q的坐标为P($\frac{13}{2}$,0)、Q($\frac{3}{2}$,4)或P(7,0)、Q(3,2)或(-7,0)、(-3,-2).
点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组,解题的关键是:(1)证出△ADE≌△BAF;(2)找出关于k、t的二元一次方程组;(3)分类讨论.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,找出点的坐标,利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 12 | B. | 24 | C. | 21 | D. | 20.5 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | -2<x<1 | B. | x<1 | C. | -2≤x<1 | D. | x≥-2 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 8-4$\sqrt{3}$ | B. | 4$\sqrt{3}$-6 | C. | 2$\sqrt{3}$-3 | D. | 4-2$\sqrt{3}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | a2+a3=a5 | B. | a8÷a2=a6 | C. | (a+1)0+($\frac{1}{2}$)-1=-1 | D. | $\sqrt{8}$$+\root{3}{-8}$=0 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
成绩(分) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
人数 | 3 | 2 | 3 | 1 | 1 |
A. | 中位数是7.5分 | B. | 中位数是8分 | C. | 众数是8分 | D. | 平均数是8分 |
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