Question

5．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=$\frac{1}{4}$x的图象交于点A、点B，点B的横坐标是4，点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）求k的值；
（2）若点P的坐标是（1，4），求△ABC的外接圆的半径；
（3）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：PM=PN．

Answer 1

分析 （1）可先求得B点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）联立直线AB与反比例函数解析式可求得A点坐标，从而可求得PA、PB和AB的长，利用勾股定理的逆定理可证明△PAB是以AB为斜边的直角三角形，则可知AB的一半即为其外接圆的半径；
（3）利用待定系数法可求得PA、PB的解析式，则可求得M、N的坐标，从而可求得PM和PN的长，可证得结论．

解答 解：
（1）∵点B在一次函数图象上，且B点横坐标为4，
∴y=$\frac{1}{4}$×4=1，
∴B（4，1），
∵点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=4×1=4；
（2）由（1）可知反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，
联立直线AB和反比例函数的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=\frac{1}{4}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴A点坐标为（-4，-1），
∵P（1，4），
∴PA=$\sqrt{（1+4）^{2}+（4+1）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{（4-1）^{2}+（1-4）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{（4+4）^{2}+（1+1）^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∴PA²+PB²=50+18=68=AB²，
∴△PAB是以AB为斜边的直角三角形，
∴△PAB的外接圆的半径为AB的一半，即△PAB的外接圆的半径为$\sqrt{17}$；
（3）设P点坐标为（t，$\frac{4}{t}$）（-4＜t＜4），设直线PA的解析式为y=mx+n，
把P、A坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{tm+n=\frac{4}{t}}\\{-4m+n=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{t}}\\{n=\frac{4}{t}-1}\end{array}\right.$，
∴直线PA的解析式为y=$\frac{1}{t}$x+（$\frac{4}{t}-1$），
令y=0可求得x=t-4，
∴M（t-4，0），
同理可求得直线PB的解析式为y=-$\frac{1}{t}$x+（$\frac{4}{t}$+1），
令y=0可求得x=t+4，
∴N（t+4，0），
∴PM=$\sqrt{（t-4-t）^{2}+（\frac{4}{t}）^{2}}$=$\sqrt{16+\frac{16}{{t}^{2}}}$，PN=$\sqrt{（t+4-t）^{2}+（\frac{4}{t}）^{2}}$=$\sqrt{16+\frac{16}{{t}^{2}}}$，
∴PM=PN．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质、三角形的外接圆等知识．在（1）中求得B点坐标是解题的关键，注意两函数图象的交点满足每一个函数解析式，在（2）中证得△PAB是直角三角形是解题的关键，在（3）中求得M、N的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．