Question

12．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）将图①中的△A₁B₁C顺时针旋转45°得图②，点P₁是A₁C与AB的交点，点Q是A₁B₁与BC的交点，求证：CP₁=CQ；
（2）在图②中，若AP₁=2，则CQ等于多少？

Answer 1

分析 （1）利用△A₁CB₁≌△ACB得到CA₁=CA，再根据旋转的性质得∠B₁CB=∠A₁CA=45°，则∠BCA₁=45°，于是根据“ASA”判断△CQA₁≌△CP₁A，所以CP₁=CQ；
（2）过点P₁作P₁P⊥AC于点P，如图②，先在Rt△AP₁P中根据含30度的直角三角形三边的关系得到P₁P=$\frac{1}{2}$AP₁=$\frac{1}{2}$×2=1，然后在Rt△CP₁P中利用等腰直角三角形的性质得CP=P₁P=1，CP₁=$\sqrt{2}$PP₁=$\sqrt{2}$，由（1）得CQ=CP₁=$\sqrt{2}$．

解答 （1）证明：∵△A₁CB₁≌△ACB，
∴CA₁=CA，
∵图①中的△A₁B₁C顺时针旋转45°得图②，
∴∠B₁CB=∠A₁CA=45°，
∴∠BCA₁=45°
在△CQA₁和△CP₁A中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QC{A}_{1}=∠{P}_{1}CA}\\{C{A}_{1}=CA}\\{∠{A}_{1}=∠A}\end{array}\right.$，
∴△CQA₁≌△CP₁A，
∴CP₁=CQ；
（2）解：过点P₁作P₁P⊥AC于点P，如图②，
在Rt△AP₁P中，∵∠A=30°，
∴P₁P=$\frac{1}{2}$AP₁=$\frac{1}{2}$×2=1，
在Rt△CP₁P中，∵∠P₁CP=45°，
∴CP=P₁P=1，
∴CP₁=$\sqrt{2}$PP₁=$\sqrt{2}$，
∴CQ=CP₁=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．旋转有三要素：旋转中心； 旋转方向； 旋转角度．也考查了等腰直角三角形的性质．