Question

已知，如图，△ABO的顶点A是双曲线与直线y=kx+b在第四象限内的交点，AB⊥x轴于点B，OA=，tan∠OAB=．另一交点为C（-8，n）．求：
（1）求这两个函数的解析式；
（2）若直线AC分别与x轴，y轴交于D，E两点，且CD=t•DE，求t的值．

Answer 1

解：（1）设OB=x（x＞0），
∵tan∠OAB==，
∴AB=2x，
在Rt△OAB中，OB²+AB²=OA²，即x²+（2x）²=20，
解得：x=2，
即OB=2，AB=4，
∴点A的坐标为（2，-4），代入y=，得：m=-8，
故反比例函数解析式为：y=-；
将点C（-8，n）代入y=-，可得n=1，
则点C的坐标为（-8，1），
将点A、C的坐标代入一次函数解析式可得：，
解得：，
故一次函数解析式为：y=-x-3．

（2）过点C作CF⊥y轴于点F，则OF=1，
，
直线AC解析式为：y=-x-3，
令x=0，y=-3，则点E的坐标为（0，-3），OE=3，
∵OD∥CF，
∴==，
即CD=DE，
又∵CD=t•DE，
∴t=．
分析：（1）在Rt△OBA中，解直角三角形，求出OB，AB，得出点A的坐标，代入反比例函数解析式可求出m的值，再将点C的坐标代入，可求出n，利用待定系数法可求出函数解析式；
（2）过点C作CF⊥y轴，求出D、E的坐标，根据=，可得出t的值．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、解直角三角形及平行线的性质，第二问的关键是将问题转化，转化为求的值，注意数形结合思想的运用．