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如图,已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,M是边AB的中点,E、G分别是边AC、BC上的一点,∠EMG=45°,AC与MG的延长线相交于点F.
(1)在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形,并证明其中的一对;
(2)连接结EG,当AE=3时,求EG的长.

解:(1)一定相似的三角形:△AEM∽△BMG,△FEM∽△FMA,
以下证明△AEM∽△BMG
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=∠B=45°.
∵∠EMB=∠EMG+∠GMB=∠A+∠AEM,
∵∠EMG=45°,
∴∠AEM=∠BMG.
∴△AEM∽△BMG.

(2)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,
∴AB=
∵M为AB的中点,
∴AM=BM=
∵△AME∽△BGM,


,CE=4-3=1.

分析:(1)因为△ABC是等腰直角三角形,从而可得到∠A=∠B=45°,再根据外角的性质得到∠AEM=∠BMG,从而可根据有两组角相等的两个三角形相似,得到△AEM∽△BMG,同理可证明△FEM∽△FMA.
(2)根据勾股定理可求得AB的长,从而可得到AM,BM的长,再根据相似三角形的判定及性质,根据相似比即可求得EG的长.
点评:此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质和勾股定理等知识点的掌握情况.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形,使C点与AB边上的一点D重合.
(1)当∠A满足什么条件时,点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件,并利用此条件证明D为AB的中点;
(2)在(1)的条件下,若DE=1,求△ABC的面积.

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如图,已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=6cm;D为AC上一点(不与A、C不精英家教网重合),过D作DQ⊥AC(DQ与AB在AC的同侧);点P从D点出发,在射线DQ上运动,连接PA、PC.
(1)当PA=PC时,求出AD的长;
(2)当△PAC构成等腰直角三角形时,求出AD、DP的长;
(3)当△PAC构成等边三角形时,求出AD、DP的长;
(4)在运动变化过程中,△CAP与△ABC能否相似?若△CAP与△ABC相似,求出此时AD与DP的长.

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精英家教网如图,已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sinB=
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,D是BC上一点,DE⊥AB,垂足为E,CD=DE,AC+CD=9.求BC的长.

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21、如图,已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,AM=AC,BN=BC.
求:(1)AB的长;(2)MN的长.

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如图,已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于D.
求证:AD=
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AB.

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