Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为_____．

Answer 1

【答案】1或

【解析】分析：分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，得出AM=BN=AD=1，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=1，再由勾股定理解得A′E即可；
②过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′=30°，由三角函数求出AE=A′E=A′B×tan30°；即可得出结果．

详解：

分两种情况：
①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，

则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，
∴AM=BN=AD=1，
∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，
∴A′E=AE，A′B=AB=1，
∴A′N=，即A′与N重合，
∴A′M=1，
∴A′E2=EM2+A′M2，
∴A′E2=（1-A′E）2+12，
解得：A′E=1，
∴AE=1；
②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，

则直线PQ是矩形ABCD 的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP=PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B=2PB，
∴∠PA′B=30°，
∴∠A′BC=30°，
∴∠EBA′=30°，∴AE=A′E=A′B×tan30°=1×;

综上所述：AE的长为1或.

故答案是：1或.