Question

如图，抛物线与x轴相交于点A（-4，0），B（-2，0），直线AC过抛物线上的点C（-1，3）．
（1）求此抛物线和直线AC的解析式；
（2）设抛物线的顶点是D，直线AC与抛物线的对称轴相交于点E，点F是直线DE上的一个动点，求FB+FC的最小值；
（3）若点P在直线AC上，问在平面上是否存在点Q，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设交点式y=a（x+4）（x+2）．
（2）点B的关于直线DE对称点是点A，连AC交DE，交点就是F点．
（3）首先要分类，若AB为对角线，利用菱形对角线相互垂直平分，若AB为边，四边都等于2．

解答：解：（1）设该抛物线的解析式是y=a（x+4）（x+2）
把C（-1，3）代入得，
a=1．
∴该抛物线的解析式是y=x²+6x+8
设直线AC的解析式是y=kx+b
把A（-4，0），C（-1，3）代入得，

-4k+b=0 -k+b=3

解得

k=1 b=4

∴直线AC的解析式是y=x+4（4分）

（2）∵点A、B关于直线DE对称，
∴FB=FA（6分）
∴FB+FC=FA+FC
当点F与点E重合时，FB+FC最小，最小值是3

2

（8分）

（3）当AB为菱形的对角线时，
菱形的另外两个顶点在线段AB的中垂线上，
而点P又在直线AC上，
∴点P的坐标是P（-3，1）
∴Q₁（-3，-1）（9分）
当AB为菱形的一边时，
①当AP=2时，点P是以A为圆心，2为半径的圆与直线AC的交点．
∴点P的坐标是(

2

-4，

2

)或(-

2

-4，-

2

)
∴Q2(

2

-2，

2

)，Q3(-

2

-2，-

2

)（11分）
②当BP=2时，点P是以B为圆心，2为半径的圆与直线AC的交点．
∴点P的坐标是（-2，2）
∴Q₄（-4，2）
∴在平面上存在点Q₁（-3，-1），Q2(

2

-2，

2

)，Q3(-

2

-2，-

2

)，Q₄（-4，2），使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形．（12分）

点评：①合理选择抛物线的解析式．②求直线上一点到直线外同旁两点的距离之和最小的问题要转化为两点之间线段最短来解决．③此类问题要分类讨论，利用图形的几何性质解决．