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(2007•海南)如图,在正方形ABCD中,点F在CD边上,射线AF交BD于点E,交BC的延长线于点G.
(1)求证:△ADE≌△CDE;
(2)过点C作CH⊥CE,交FG于点H,求证:FH=GH;
(3)设AD=1,DF=x,试问是否存在x的值,使△ECG为等腰三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)根据SAS可证△ADE≌△CDE;
(2)根据(1)的结论和图中各角的关系证明∠G=∠6,∠5=∠7即可;
(3)要使△ECG为等腰三角形,必须CE=CG,根据已知求得∠3的度数,再根据正切值进行计算求得.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠1=∠2=45°,DE=DE,(3分)
∴△ADE≌△CDE.(4分)

(2)证明:∵△ADE≌△CDE,
∴∠3=∠4,
∵CH⊥CE,
∴∠4+∠5=90°,
又∵∠6+∠5=90°,
∴∠4=∠6=∠3,
∵AD∥BG,
∴∠G=∠3,
∴∠G=∠6,
∴CH=GH,(6分)
又∵∠G+∠5=∠G+∠7=90°,
∴∠5=∠7,
∴CH=FH,(7分)
∴FH=GH.(8分)

(3)解:存在符合条件的x值此时,(10分)
∵∠ECG>90°,要使△ECG为等腰三角形,必须CE=CG,
∴∠G=∠8,
又∵∠G=∠4,
∴∠8=∠4,(11分)
∴∠9=2∠4=2∠3,
∴∠9+∠3=2∠3+∠3=90°,
∴∠3=30°,
∴x=DF=1×tan30°=.(12分)
点评:此题综合性较强,主要考查了全等三角形的判定、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的判定.
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80°
80°

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科目:初中数学 来源:2007年全国中考数学试题汇编《二次函数》(08)(解析版) 题型:解答题

(2007•海南)如图,直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,已知二次函数的图象经过点A、C和点B(-1,0).
(1)求该二次函数的关系式;
(2)设该二次函数的图象的顶点为M,求四边形AOCM的面积;
(3)有两动点D、E同时从点O出发,其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC按O?A?C的路线运动,点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O?C?A的路线运动,当D、E两点相遇时,它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时,△ODE的面积为S.
①请问D、E两点在运动过程中,是否存在DE∥OC,若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由;
②请求出S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
③设S是②中函数S的最大值,那么S=______.

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科目:初中数学 来源:2007年海南省中考数学试卷(解析版) 题型:解答题

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(1)求该二次函数的关系式;
(2)设该二次函数的图象的顶点为M,求四边形AOCM的面积;
(3)有两动点D、E同时从点O出发,其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC按O?A?C的路线运动,点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O?C?A的路线运动,当D、E两点相遇时,它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时,△ODE的面积为S.
①请问D、E两点在运动过程中,是否存在DE∥OC,若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由;
②请求出S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
③设S是②中函数S的最大值,那么S=______.

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科目:初中数学 来源:2007年海南省中考数学试卷(解析版) 题型:填空题

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