Question

【题目】如图，在平面直角坐标系 中，已知 ， 两点的坐标分别为 ， ， 是线段 上一点（与 ， 点不重合），抛物线 （ ）经过点 ， ，顶点为 ，抛物线 （ ）经过点 ， ，顶点为 ， ， 的延长线相交于点 ．

（1）若 ， ，求抛物线 ， 的解析式；
（2）若 ， ，求 的值；
（3）是否存在这样的实数 （ ），无论 取何值，直线 与 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依题可得：

解得 ：

所以抛物线L1的解析式为y=-x2-x-2.

同理，

解得 ：

所以抛物线L2的解析式为y= -x2+x+2.

（2）

解：如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H.

依题可得：

解得

∴抛物线L1的解析式为y=-x2+（m-4）x+4m.

∴点D的坐标为（-,）.

∴DG==,AG=.

同理可得，抛物线L2的解析式为y=-x2+（m+4）x-4m

EH== ，BH=.

∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴

∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°

∴∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF

∴△ADG∽△EBH

∴=.
∴=

∴m=2或m=-2.

（3）

解：存在，例如a=-,a=-.

【解析】（1）把a、m代入得到已知点，把点代入函数解析式构成方程组，根据待定系数法可求出函数解析式.
（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，把a=-1代入函数解析式，然后结合（m,0）和（-4，0）代入可解出函数解析式L1 ， 然后分别求出D点坐标，得到DG,AG的长，同理得到L2;求得EH,BH的长，再根据三角形相似的判定与性质构造方程求解即可.
（3）根据前面的解答，直接写出即可.
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．