Question

11．大学生李某毕业响应国家“自主创业”的号召，在我市沙坪坝学校密集的沙南街路段投资开办了一个学生文具店．该店在开学前8月31日购进一种今年新上市的文具袋9月份（9月1日至9月30日）进行30天的试销售，购进价格为20元/个．销售结束后得知日销售量y（个）与销售时间x（天）之间有如下关系：y=-2x+80（1≤x≤30，x取正整数）；又知销售价格z（元/个）与销售时间x（天，x取正整数）之间的函数关系满足如图所示的函数图象．
（1）求z关于x的函数关系式；
（2）请问在这30天（9月1日至9月30日）的试销中，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）“十•一”黄金周期间，李某采用降低售价从而提高日销售量的销售策略．10月1日全天销售价格比9月30日的销售价格降低a%而日销售量反而比9月30日提高6a%（其中a为小于15的正整数），日销售利润比9月份最大日销售利润少569元，求a的值．
（参考数据：49²=2401，50²=2500，51²=2601，52²=2704）

Answer 1

分析 （1）根据图象得出销售价格z与销售时间x（天）的关系为一次函数关系进而求出即可；
（2）根据当1≤x≤20时，以及当20＜x≤30时，表示出日销售利润，进而解答即可；
（3）首先利用（2）中所求解析式，利用二次函数的最值求法以及一次函数的增减性，得出9月份日销售利润最大为1225元，再利用已知列出等式方程45（1-a%）•20（1+6a%）-20×20（1+6a%）=1225-569，进而求出a的值即可．

解答 解：（1）由图象知，当1≤x≤20时，设z=kx+b，
则有：
$\left\{\begin{array}{l}{38=6k+b}\\{45=20k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=35}\end{array}\right.$，
即z=0.5x+35，
当20＜x≤30时z=45．
综上：z=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+35（1≤x≤20）}\\{45（＜x≤30}\end{array}\right.$；
（2）当1≤x≤20时，
W=yz-20y=（-2x+80）（0.5x+35）-20（-2x+80）=-x²+10x+1200
当20＜x≤30时，
W=yz-20y=45（-2x+80）-20（-2x+80）=-50x+2000，
即在9月1日这一天的日销售利润最大，为1100元；
（3）9月30日的价格为45元，日销售量为20个，
9月份当1≤x≤20时日销售利润为：
W=-x²+10x+1200=-（x²-10x+25）+1225=-（x-5）²+1225，
当9月5日时日利润最大为1225元．
当20＜x≤30时，利润为W=-50x+2000，
当x增加时W减小，故为x=21时最大．最大日销售利润为950元，
综上9月份日销售利润最大为1225元．
由题意得45（1-a%）•20（1+6a%）-20×20（1+6a%）=1225-569，
（1+6a%）[900（1-a%）-400]=656，
（1+6a%）（900-9a-400）=656，
（1+6a%）（500-9a）=656，
500-9a+30a-54a²%=656，
方程两边同乘以100得：
54a²-2100a+15600=0，
化简得9a²-350a+2600=0，
a₁=10，a₂=$\frac{260}{9}$（舍）．
答：a的值为10

点评 此题主要考查了二次函数与一次函数的应用和一元二次方程的应用，根据已知得出利润与销量之间的函数关系式是解题关键．