Question

如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为（ ）

A．
B．-
C．2
D．4

Answer 1

【答案】分析：由AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，得到∠1=∠2=∠3=30°，∠B=60°，于是有AB=AD=DC，且∠BAC=90°，得到BC为直径，设圆心为O，AB=x，则BC=2AB=2x，∠4=2∠1=60°，然后利用四边形ABCD的周长为10cm，可求出半径；而S_阴影部分=S_扇形OAD-S_△OAD，利用扇形的面积公式：S=和等边三角形的面积分别计算它们的面积即可．
解答：解：如图，
∵AC平分∠BCD，
∴∠1=∠2，
又∵AD∥BC，
∴∠1=∠2=∠3，
而∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=∠3=30°，∠B=60°，
∴AB=AD=DC，且∠BAC=90°，
∴BC为直径，设圆心为O，AB=x，则BC=2AB=2x，∠4=2∠1=60°，
又∵四边形ABCD的周长为10cm，
∴x+x+x+2x=10，解得x=2，即⊙O的半径为2，
连OA，OD，
∴S_阴影部分=S_扇形OAD-S_△OAD=-×2²=-．
故选B．
点评：本题考查了扇形的面积公式：S=，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=lR，l为扇形的弧长，R为半径．同时考查了圆周角定理及其推论以及等边三角形的面积．